26) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

lim x → 0 ⁡ x ⋅ cos ⁡ 1 x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho com vocês?

Essa questão nos traz um limite um pouco diferente, primeiro porque não temos a função seno, mas sim a função cosseno. E, também, porque o argumento, nesse caso, é 1 x que tende a quando x → 0 . Isso tudo é como um sinal divino indicando que talvez, a ideia aqui não seja o limite fundamental trigonométrico.

Algo interessante a se perceber nessa questão, é que como o argumento do cosseno tende a quando x → 0 , tentar resolver esse limite determinando o valor do cosseno é bem complicado. Até mesmo se usássemos alguma identidade trigonométrica pra fazer aparecer o seno, ainda não conseguiríamos dizer o seu valor exato.

Nesse tipo de situação, uma sacada legal é ver se a função é limitada para tentarmos usar o teorema do confronto ou o teorema do anulamento.

Passo 2

A nossa função à qual está sendo aplicado o limite é: h x = x ⋅ cos ⁡ 1 x

Bora dar uma olhada se o teorema do anulamento pode ser usado nesse caso. Lembrando o que ele diz:

Se f ( x ) é uma função limitada e g ( x ) tende a zero quando x → p , então:

lim x → p ⁡ g ⋅ f = 0

Vamos ver então se h ( x ) se encaixa nessas hipóteses:

  1. f x =   cos ⁡ 1 x de fato, é limitada, pois vale que: - 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1
  2. g x =   x tende a zero quando x → 0

Logo, h x obedece às hipóteses do teorema do anulamento, portanto:

lim x → 0 ⁡ g ⋅ f =   lim x → 0 ⁡ x ⋅ cos ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ x ⋅ cos ⁡ 1 x = 0

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.