Considere as funções f , g : R ⟶ R dadas por

f x =   x s e n 1 x         s e   x ≠ 0 0                                     s e   x = 0

E

g x =   x 2 s e n 1 x         s e   x < 0 x 3 e x                             s e   x ≥ 0

  1. Verifique se f é contínua em x = 0
  2. Verifique se g é diferenciável em x = 0 . Se sim, quanto vale g ' ( 0 ) ?

Passo 1

Oi, suas belezuras! Bora fazer mais uma questãozinha molezinha!

Primeiríssima coisa que ele nos pede é para verificar se a função f é contínua e se você ficou com medo, porque f ( x ) é composta por senos, você tem que lembrar que temos uma arma poderosa contra esse tipo de problema e ela se chama... TEOREMA DO CONFRONTO!!!

Se liga aqui, você concorda comigo que o valor do seno sempre está variando entre - 1 e 1 , correto? Isso independe de quem é o argumento dentro do seno, logo:

- 1 ≤ s e n 1 x ≤ 1

Passo 2

Mas você concorda comigo também que na função f ( x ) os valores de x podem ser maiores ou menores que zero, então vamos dividir em dois intervalos para melhorar nossa análise:

x < 0   e   x > 0

Para x > 0 , temos números positivos multiplicando os extremos desse intervalo:

- 1 ⋅ x ≤ x ⋅ s e n 1 x ≤ 1 ⋅ x

Logo o valor da função f ( x ) fica entre os limites:

- x ≤ x ⋅ s e n 1 x ≤ x

Para o intervalo x < 0 , temos números negativos multiplicando os extremos desse intervalo, ou seja, isso vai mudar os sinais da desigualdade:

- x ≥ ≤ x ⋅ s e n 1 x ≥ x ≤

Parece estranho que a função seja maior que x e menor que – x , mas lembre-se que x é negativo.

Passo 3

Aplicando limites nessa relação, nós temos:

lim x → 0 + ⁡ - x ≤ l i m x → 0 +   x ⋅ s e n 1 x ≤ l i m x → 0 +   x

Fazendo o limite dos extremos:

0 ≤ l i m x → 0 +   x ⋅ s e n 1 x ≤ 0

Agora sabemos que a única opção que esse limite pode assumir é:

l i m x → 0 +   x ⋅ s e n 1 x = 0

Agora vamos fazer o outro lado do limite? Vindo por números menores que zero:

lim x → 0 - ⁡ - x ≥ ≤ l i m x → 0 -   x ⋅ s e n 1 x ≥ ≤ l i m x → 0 -   x

Do mesmo jeito, vamos fazer os limites dos extremos:

0 ≥ ≤ l i m x → 0 -   x ⋅ s e n 1 x ≥ ≤ 0

De novo, o limite assume o valor:

l i m x → 0 -   x ⋅ s e n 1 x = 0

Como os dois limites são o mesmo:

l i m x → 0 +   x ⋅ s e n 1 x = l i m x → 0 -   x ⋅ s e n 1 x = 0

Então:

l i m x → 0   x ⋅ s e n 1 x = 0

Mas temos que verificar que esse limite bate com o valor da função no ponto x = 0 :

f 0 = 0

Logo, essa função é CONTÍNUA! Isso, vencedor, bora pro próximo item!

Passo 4

Na letra b, ele nos pergunta se a função g ( x ) é diferenciável no ponto x = 0 e se for, ele que saber essa derivada nesse ponto. Vamos começar!

Vejamos que a função é definida por partes, uma para x > 0 e outra para x < 0 :

g x =   x 2 s e n 1 x         s e   x < 0 x 3 e x                             s e   x ≥ 0

Primeiro, vemos que as duas partes são compostas por funções contínuas, então vemos que a função é contínua! Então podemos passa para o próximo passoVamos ter que encontrar os limites para quando x se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita e ver se eles são iguais, se forem, então dizemos que a função é contínua!!

Primeiro, vamos encontrar o limite para:

l i m x → 0 - x 2 s e n 1 x

Bom, como vimos no passo acima, pelo Teorema do Confronto, descobrimos que esse limite tem o valor igual a zero:

l i m x → 0 - x 2 s e n 1 x = 0

Por outro lado, o outro limite que devemos fazer é:

l i m x → 0 + x 3 e x

Substituindo o valor de x = 0 , encontramos o limite igual a:

l i m x → 0 + x 3 e x = 0 3 e 0 = 0 ⋅ 1 = 0

Logo, como os limites são iguais, então a função é contínua!

Passo 5

Para que uma função seja derivável, precisamos que ela cumpra dois requisitos, um é que seja contínua e o outro é que as derivadas laterais sejam iguais.Já vimos que a função é contínua, esse é o primeiro passo pra dizermos que é derivável. Mas pra função ser derivável, é preciso também que as derivadas laterais existam e sejam iguais. Como queremos descobrir se é ou não uma função derivável, agora que já descobrimos que ela é contínua, vamos ter que aplicar as derivadas laterais e verificar se elas são iguais, se forem, vamos correr para o abraço e gritar: DIFERENCIÁVEL!

Vamos derivar essas duas partes:

x 2 s e n 1 x '

E

( x 3 e x ) '

Como estamos trabalhando com seno na primeira parte, vamos usar a definição de derivada para calcular a derivada no ponto x = 0 :

g 0 ' =   l i m x → 0 g x - g 0 x - 0

Aplicando essa definição para as duas partes:

g 0 - ' = x 2 s e n 1 x ' =   l i m x → 0 - g x - g 0 x - 0 = l i m x → 0 - x 2 s e n 1 x x

Simplificando o numerador com o denominador:

g 0 - ' =   l i m x → 0 - x s e n 1 x = 0

Enquanto derivando a segunda parte, temos:

g 0 + ' = x 3 e x ' =   l i m x → 0 + g x - g 0 x - 0 = l i m x → 0 - x 3 e x x

Simplificando o numerador com o denominador:

g 0 + ' = l i m x → 0 - x 2 e x = 0

Passo 6

Então vemos que as derivadas laterais no ponto x = 0 são iguais:

g 0 - ' = g 0 + ' = 0

Logo, existe a derivada nesse ponto e ela vale:

g 0 ' = 0

Resposta

  1. Sim, f é contínua
  2. Sim, g é diferenciável no ponto x = 0 e vale 0

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.