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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x sen ⁡ x + 1   - 1 x

Passo 1

Já que temos um seno na expressão e o limite está tendendo a zero, vamos usar um artifício para podermos utilizar o limite fundamental trigonométrico.

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x . sen ⁡ x + 1   - 1 x x + 1   - 1 x

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x . 1

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x

Passo 2

Agora, já que sobrou cosseno, que é uma função limitada, multiplicado por uma outra função, vamos verificar se essa outra função está tendendo a zero. Se sim, podemos usar o Teorema do Anulamento.

lim x → 0 + ⁡ x + 1   - 1 x

lim x → 0 + ⁡ x + 1   - 1 x . ( x + 1   + 1 ) ( x + 1   + 1 )

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x ( x + 1   + 1 )

lim x → 0 + ⁡ x x ( x + 1   + 1 )

lim x → 0 + ⁡ x x x + 1   + 1 . x x

lim x → 0 + ⁡ x x x x + 1   + 1

lim x → 0 + ⁡ x x + 1   + 1 = 0 1 + 1 = 0

Portanto, pelo Teorema do Anulamento

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x = 0

Resposta

0

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