5. Usando um Corolário do Teorema do Confronto, mostre que a função f x tem limite no ponto x = c nos seguintes casos:

(b) f x = x - 1 e s e n π x - 1 e c = 1

Sugestão: Obtenha uma fatoração do tipo f x = g x h x , em que h x é limitada próximo do ponto x = c e lim x → c ⁡ g x = 0

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que aplicar o teorema do confronto para a função f x = x - 1 e s e n π x - 1 , onde x tende a 1 .

E aí, como fazemos isso? 🤔

O limite de uma função é um conceito fundamental da matemática que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

O Teorema do Confronto é usado para avaliar o limite de uma função quando se aproxima de um valor a . A ideia do teorema é que, se conseguirmos encontrar duas funções g x e h x , ambas definidas em um intervalo que inclui a , tais que:

g x ≤ f x ≤ h x para todos os valores de x no intervalo, exceto possivelmente em a . Então:

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então, podemos concluir que:

lim x → a ⁡ f x = L

Esse teorema meu muito usado para limites de funções trigonométricas.

Legal, né? Bora começar! 😎

Passo 2

A função s e n x está contida no intervalo de - 1 a 1 , assim como a função s e n π x - 1

- 1 ≤ s e n π x - 1 ≤ 1

Elevando todos os lados sob e , temos

e - 1 ≤ e s e n π x - 1 ≤ e 1

Assim, se multiplicarmos todos os lados por x - 1 , vamos obter

x - 1 e - 1 ≤ x - 1 e s e n π x - 1 ≤ x - 1 e 1

Perceba que a função do meio virou exatamente f x e vemos que ela varia de x - 1 e - 1 a x - 1 e 1 ...

Aplicando o limite

lim x → 1 ⁡ x - 1 e - 1 ≤ lim x → 1 ⁡ x - 1 e s e n π x - 1 ≤ lim x → 1 ⁡ x - 1 e 1

Por fim, se calcularmos os limites dos extremos, temos que

lim x → 1 ⁡ x - 1 e - 1 = 1 - 1 e - 1 = 0

lim x → 1 ⁡ x - 1 e 1 = 1 - 1 e 1 = 0

Substituindo na inequação

0 ≤ lim x → 1 ⁡ x - 1 e s e n π x - 1 ≤ 0

Portanto, certamente

lim x → 1 ⁡ x - 1 e s e n π x - 1 = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 e s e n π x - 1 = 0

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.