Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x  

Passo 1

Começo substituindo o valor do limite:

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x   = cos ⁡ ∞ sen ⁡ 0 0

Acontece que não sabemos como convergirá esse cosseno aí. Mas um problema de cada vez, primeiro vamos olhar para o termo dentro do seno e tentar definir para onde ele converge:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = 0 0

Passo 2

Para resolver esse cara a melhor saída é multiplicar pelo conjugado do cara de cima e cortar com o de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 x + 1 + 1

= lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1

Corta o x de cima com o x de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x + 1 + 1

= 0 0 + 1 + 1 = 0

Conclusão,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = sen ⁡ 0 = 0

Passo 3

Agora a ideia é observar que o cos ⁡ 1 x está delimitado entre - 1 e 1 , como todo cosseno.

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Logo,

- lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x

Porém, como já vimos no primeiro passo,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = 0

Então os limites da ponta vão zerar. Com isso, o limite central será:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.