Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x  

Passo 1

Começo substituindo o valor do limite:

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x   = cos ⁡ ∞ sen ⁡ 0 0

Acontece que não sabemos como convergirá esse cosseno aí. Mas um problema de cada vez, primeiro vamos olhar para o termo dentro do seno e tentar definir para onde ele converge:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = 0 0

Passo 2

Para resolver esse cara a melhor saída é multiplicar pelo conjugado do cara de cima e cortar com o de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 x + 1 + 1

= lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1

Corta o x de cima com o x de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x + 1 + 1

= 0 0 + 1 + 1 = 0

Conclusão,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = sen ⁡ 0 = 0

Passo 3

Agora a ideia é observar que o cos ⁡ 1 x está delimitado entre - 1 e 1 , como todo cosseno.

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Logo,

- lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x

Porém, como já vimos no primeiro passo,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = 0

Então os limites da ponta vão zerar. Com isso, o limite central será:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

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