1. Seja f uma função definida em R tal que

3 x - x 2 ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 ,     x ≠ 1

Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema nosso objetivo é calcular o limite de f para x → 1 .

f é definida entre duas outras funções dadas por g x = 3 x - x 2 e h x = x 2 - 1 x - 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 😐

Dessa forma, como f é definida entre duas outras funções, o limite de f em x → 1 também será definido entre g x e h x .

Portanto, podemos dizer que

lim x → 1 ⁡ g x < lim x → 1 ⁡ f x < lim x → 1 ⁡ h x

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando os limites de g x e h x , temos

lim x → 1 ⁡ 3 x - x 2 = 2

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1

Aplicando a regra de L’Hopital no limite de h x , já que fazendo x = 1 em h x caímos em uma indeterminação 0 / 0 , temos

lim x → 1 ⁡ d x 2 - 1 d x d x - 1 d x → lim x → 1 ⁡ 2 x 1 = 2

Dessa forma, se lim x → 1 ⁡ f x está entre lim x → 1 ⁡ g x e lim x → 1 ⁡ h x e também lim x → 1 ⁡ g x = 2 e lim x → 1 ⁡ h x = 2

lim x → 1 ⁡ g x < lim x → 1 ⁡ f x < lim x → 1 ⁡ h x

2 < lim x → 1 ⁡ f x < 2

Então certamente

lim x → 1 ⁡ f x = 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → 1 ⁡ f x = 2

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.