Verifique que, se x 2   c o s x ≤   f x ≤   x   s e n ( x ) , para todo x   ∈   ( - π ,   π ) , então   f é contínua em x   =   0 . O que se pode afirmar sobre a continuidade em x   =   π / 2 .

Passo 1

Beleza galerinha, vamos por partes e analisar x   =   0 primeiro:

x 2   c o s x ≤   f x ≤   x   s e n ( x )

lim x → 0 ⁡ x 2   c o s x ≤   lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤   lim x → 0 ⁡ x   s e n ( x )

0 ≤   lim x → 0 ⁡ f ( 0 ) ≤   0

Ora, pelo teorema do confronto temos então:

Logo, lim x → 0 ⁡ f ( 0 ) = 0

E, se fizermos:

0 2   c o s 0 ≤   f 0 ≤   0   s e n 0

0 ≤   f 0 ≤   0

Logo, f 0 = 0

lim x → 0 ⁡ f ( 0 ) = 0 = f 0

Portanto, f ( x ) é contínua em   x   =   0 .

Passo 2

Show, agora e m   x   =   π / 2

x 2   c o s x ≤   f x ≤   x   s e n ( x )

lim x → π / 2 ⁡ ( π / 2 ) 2   c o s π / 2 ≤   lim x → π / 2 ⁡ f ( x ) ≤   lim x → π / 2 ⁡ ( π / 2 ) s e n ( π / 2 )

0 ≤   lim x → π / 2 ⁡ f ( x ) ≤   π / 2

Portanto, não podemos afirmar nada sobre o limite :/

É isso galera, bye bye o/

Resposta

Para x = 0 , a função é contínua. No ponto x   =   π / 2 as funções que ficam por baixo e por cima de f têm limites diferentes. Logo, nada se pode concluir acerca da existência do limite lim x → π / 2 ⁡ f ( x ) .

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Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.