Seja f : R → R tal que f x ≤ x 2 , para todo x ∈ R . Mostre que f 0 = 0 e use-o para determinar f ' ( 0 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela e resolver com você!

Primeiro temos uma função

f x ≤ x 2

Então (pela definição de módulo) podemos dizer que

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

Beleza?

Agora o problema pede para mostrarmos que

f 0 = 0

Isso tem cheiro sabe de que? Teorema do confronto! Sabe como identifiquei isso? Nossa função f ( x ) não está exatamente definida, ela pertence a um intervalo de funções. E o problema pediu para calcular o valor da função em um ponto

Como calcular uma função se não temos a expressão dela? Pelo teorema do confronto! Se os limites em um determinado ponto dos extremos da desigualdade forem iguais, então você terá o valor da função naquele ponto!

Beleza? E depois? Depois o problema pede para calcularmos a derivada em x = 0 . Aí vamos precisar usar novamente o teorema! Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já sabemos que nossa função está entre esses limites aqui

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

Agora queremos mostrar que f 0 = 0 . Bom, vamos então sanduichar! Aplicar o limite quando x → 0 nas três partes da inequação

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Tudo bem até aqui?

E agora? Agora vamos calcular os limites nos extremos!

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

- 0 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0 2

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

Logo concluímos que

lim x → 0 ⁡ f x = 0 = f ( 0 )

Passo 3

f 0 = 0 , vamos calcular a derivada nesse mesmo ponto! E tudo isso sem saber a cara da função f ( x ) ! Mas como?

Usando o teorema do confronto de novo! Agora ao invés de apenas aplicar o limite na nossa desigualdade inicial, vamos aplicar o operador derivada nas três partes! E depois? Aplicar o limite quando x → 0 !

- x 2 ≤ f x ≤ x 2

Aplicando a derivada temos

d d x - x 2 ≤ d d x f x ≤ d d x x 2

Agora é derivar o que conhecemos! E chamar d d x f x = f ' ( x )

- 2 x ≤ f ' x ≤ 2 x

Beleza?

E agora? Agora vamos usar o teorema de novo! Vamos sanduichar essa função com o limite quando x tende a zero dos dois lados e calcular os limites

- 2 x ≤ f ' x ≤ 2 x

lim x → 0 ⁡ - 2 x ≤ lim x → 0 ⁡ f ' ( x ) ≤ lim x → 0 ⁡ 2 x

- 2.0 ≤ lim x → 0 ⁡ f ' x ≤ 2.0

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f ' x ≤ 0

Isso significa que

lim x → 0 ⁡ f ' x = 0 = f ' ( 0 )

Beleza? E é isso que temos para hoje! Bora fazer mais questões?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.