Calcule o limite

lim x → + ∞ ⁡ 6 x + 4 x 2 s e n 1 x 2 x - s e n x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Você se lembra qual é o primeiro passo que a gente tem que fazer quando temos uma questão de limite?

Então, antes da gente sair pensando já em fazer milhões de coisas, sempre precisamos testar o limite que o enunciado nos dá porque vai que dá bonitinho um resultado. Aí, se der alguma indeterminação, a gente vai e começar a queimar a cabeça pra pensar em maneiras de contornar a situação, show?

Passo 2

Vamos testar então o limite que o enunciado nos deu:

lim x → + ∞ ⁡ 6 x + 4 x 2 s e n 1 x 2 x - s e n x = ∞ ∞

Opa, deu indeterminação, então agora vamos pensar em alguma estratégia pra tirar essa indeterminação.

Passo 3

Você tem ideia do que a gente pode fazer pra tentar tirar essa indeterminação?

Po, pensa aqui comigo, se eu dividir o numerador e denominador por x , eu vou arrancar aquela dependência ali de 6 x e 2 x e vai sobrar apenas 6 e 2, o que não será mais influenciado por x , certo? Mas vai acontecer um paranauê aí no meio do caminho que a gentre vai ver como resolver! Vem comigooo

Dividindo então por x :

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 4 x s e n 1 x 2 - s e n x x

Passo 4

Tá, mas aí apareceu ali um s e n x x   no denominador, e agora, o que fazemos?!!!!

Vamos precisar aplicar o teorema do confronto, onde basicamente você pega uma função que você conhece os limite superiores e inferiores, e depois rearranja para que apareça o “pedaço” da função que está no seu limite principal.

0 ≤ s e n x ≤ 1

Dividindo por x , temos:

0 ≤ s e n x x ≤ 1 x

Aplicando o limite

lim x → + ∞ ⁡ 0 ≤   l i m x → + ∞ s e n x x ≤ l i m x → + ∞ 1 x

0 ≤ l i m x → + ∞ s e n x x ≤ 0  

Logo,

l i m x → + ∞ s e n x x = 0

Passo 5

Mas tá, apareceu ali um outro treco que é o x s e n 1 x

Vamos chamar de u = 1 x , note que isso vai implicar dizer que:

x s e n 1 x = s e n u u

Hummmm, isso tá com uma carinha de algo que conhecemos que é:

lim x → + ∞ ⁡ x s e n 1 x = lim x → 0 ⁡ s e n u u

E esse último limite através de uma prova de um teorema tem um valor específico igual a 1

lim x → 0 ⁡ s e n u u = 1

Portanto,

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 4 x s e n 1 x 2 - s e n x x = 6 + 4 2

lim x → + ∞ ⁡ 6 + 4 x s e n 1 x 2 - s e n x x = 5

Resposta

5

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.