Seja f : 0 ,   1 → R contínua, com f 0 = 1 e f x ∈ Q para todo x ∈ [ 0 ,   1 ] . Mostre que f x = 1 para todo x ∈ [ 0 ,   1 ] .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um a função f com domínio no intervalo [ 0 ,   1 ] e pediu pra gente mostrar que f x = 1 , para todo x nesse intervalo.

Pra resolver essa questão, vamos pensar nos números racionais, dos quais a função faz parte e na continuidade da função.

Vamos lá!

Passo 2

Por definição, entre dois números racionais, temos pelo menos um um irracional. No enunciado, temos que ( x ) é racional para todo x em seu domínio, se adotássemos valores f x ≠ 1 para x ≠ 0 , teríamos “saltos” na função para que alocássemos apenas valores racionais. Isso não seria possível, pois a função não seria contínua e, portanto, não respeitaríamos as restrições do enunciado.

Logo, f x = 1 , obrigatoriamente, para todo x em [ 0 ,   1 ] .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.