17) Seja f uma função limitada. Use o teorema do anulamento (é o corolário do teorema do confronto) para provar que lim x → 0 ⁡ x 2 f ( x ) = 0 .

Passo 1

Fala galera, tudo bom?

O teorema do anulamento é uma consequência direta (corolário) do teorema do confronto. Ele diz o seguinte:

Se o lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = 0 e f ( x ) é uma função limitada, então:

lim x → x 0 ⁡ f ⋅ g = 0

Calma, isso tá parecendo um pouco jogado, mas faz bastante sentido. Pensa comigo:

Se f é limitada, é poque ela tem um valor mínimo e máximo na sua imagem, então vale que:

K m í n ≤ f x ≤ K M á x

Onde K m í n e K m á x são constantes reais que representam os valores mínimo e máximo de f , respectivamente.

Então a gente pode dizer também que:

g ⋅ K m í n ≤ g ⋅ f ≤ g ⋅ K m á x

Daí agora, pelo teorema do confronto, a gente pode aplicar os limites nessa desigualdade e teremos:

lim x → x 0 ⁡ g ⋅ K m í n ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ K m á x

Como K m í n e K m á x são constantes, podemos colocá-las para fora do limite:

K m í n ⋅ lim x → x 0 ⁡ g ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f ≤ K máx ⋅ lim x → x 0 ⁡ g

Mas lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = 0 . Opaa, finalmente chegamos a conclusão do teorema do anulamento:

0 ≤ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f ≤ 0

⇒ lim x → x 0 ⁡ g ⋅ f = 0  

Passo 2

Agora que já sabemos tudo de teorema do anulamento, vamos resolver nossa questão tentando identificar quem seria g e f pelo teorema.

Bom, f vai ser o próprio f ( x ) da questão, pois ela é limitada.

Já o g ( x ) poderia ser o nosso x 2 né? Porque o lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 .

Massa então. Pelo teorema do anulamento, como f é uma função limitada e g x = x 2 é uma função tal que lim x → 0 ⁡ g ( x ) = 0 , a gente pode afirmar que:

lim x → 0 ⁡ g ⋅ f = lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ f x   = 0

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.