1. Calcule, se existirem, os limites abaixo.
  1. lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 sen ⁡ x + 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão temos um limite para resolver. Vamos começar substituindo + ∞ na função

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 sen ⁡ x + 1 = ?

Repara que caímos em um probleminha complicado, pois não conseguimos calcular seno e consseno de infinito. Mas fiquem tranquilos, pois vamos resolver essa questão aplicando o Teorema do Confronto ou Teorema do Sanduíche.

Ele diz o seguinte: . Imagine, então, que você quer calcular o limite de h ( x ) (será nosso recheio) para x → a e você sabe que:

f x ≤ h x ≤ g x

Ou seja, h x está entre f x e g x (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h x ≤ lim x → a ⁡ g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x = L

Então,

lim x → a ⁡ h x = L

Pois h x está entre as duas outras funções.

Mas antes de aplica-lo mas mexer um pouco nessa função!

Passo 2

Note que podemos colocar o x 2 em evidência. Fica assim

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 sen ⁡ x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 2 - 7 cos ⁡ x x 2 x 2 3 - 5 sin ⁡ x x 2 + 1 x 2

Repara que podemos cortar o x 2 , fica assim

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 sen ⁡ x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 - 7 cos ⁡ x x 2 3 - 5 sin ⁡ x x 2 + 1 x 2

Agora a ideia é substituir o + ∞ na equação, mas ainda temos a função seno e cosseno ali. Então vamos montar o nosso limite assim,

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 sen ⁡ x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 - lim x → + ∞ ⁡ 7 cos ⁡ x x 2 lim x → + ∞ ⁡ 3 - lim x → + ∞ ⁡ 5 sen ⁡ x x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2

Vamos calcular em separado!

Passo 3

Começando por,

lim x → + ∞ ⁡ 5 sen ⁡ x x 2

Vamos olhar para função seno, que é uma função limitada entre:

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Isso vale para qualquer valor de x . Se multiplicarmos por 5 / x 2 e aplicarmos o limite ficaria assim::

- 5 x 2 ≤ 5 sen ⁡ x x 2 ≤ 5 x 2

Montamos o nosso sanduíche, agora vamos para o nosso limite! Fazendo x → + ∞ , ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ - 5 x 2 ≤ l i m x → + ∞ 5 sen ⁡ x x 2 ≤ lim x → + ∞ ⁡ 5 x 2

Resolvendo os limites das pontas,

0 ≤ l i m x → + ∞ 5 sen ⁡ x x 2 ≤ 0

Com isso, segue que:

⁡ l i m x → + ∞ 5 sen ⁡ x x 2 = 0

Passo 4

Aplicando o mesmo raciocinio para função cosseno, ficamos com

lim x → + ∞ ⁡ 7 cos ⁡ x x 2

Vamos olhar para função cosseno, que é uma função limitada entre:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Isso vale para qualquer valor de x . Se multiplicarmos por 7 / x 2 e aplicarmos o limite ficaria assim::

- 7 x 2 ≤ 7 cos ⁡ x x 2 ≤ 7 x 2

Montamos o nosso sanduíche, agora vamos para o nosso limite! Fazendo x → + ∞ , ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ - 7 x 2 ≤ l i m x → + ∞ 7 cos ⁡ x x 2 ≤ lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2

Resolvendo os limites das pontas,

0 ≤ l i m x → + ∞ 7 cos ⁡ x x 2 ≤ 0

Com isso, segue que:

⁡ l i m x → + ∞ 7 cos ⁡ x x 2 = 0

Agora bora juntar tudo!

Passo 5

Estavamos com a seguinte situação:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 sen ⁡ x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 - lim x → + ∞ ⁡ 7 cos ⁡ x x 2 lim x → + ∞ ⁡ 3 - lim x → + ∞ ⁡ 5 sen ⁡ x x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2

Já calculamos os limites com as funções seno e cosseno e temos que:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Substituindo,

lim x → + ∞ ⁡ 2 - lim x → + ∞ ⁡ 7 cos ⁡ x x 2 lim x → + ∞ ⁡ 3 - lim x → + ∞ ⁡ 5 sen ⁡ x x 2 + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 2 - 0 3 - 0 + 0

Logo,

lim x → + ∞ ⁡ x 2 x - 7 cos ⁡ x 3 x 2 - 5 sen ⁡ x + 1 = 2 3

Resposta

2 3

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.