1. Calcule, se existirem, os limites abaixo.
  1. lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão temos um limite para resolver. Vamos começar substituindo + ∞ na função

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x = ?

Repara que caímos em um probleminha complicado, pois não conseguimos calcular sen ⁡ " ∞ " . Mas fiquem tranquilos, pois vamos resolver essa questão aplicando o Teorema do Confronto ou Teorema do Sanduíche.

Ele diz o seguinte: . Imagine, então, que você quer calcular o limite de h ( x ) (será nosso recheio) para x → a e você sabe que:

f x ≤ h x ≤ g x

Ou seja, h x está entre f x e g x (os pães). Agora, você poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h x ≤ lim x → a ⁡ g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x = L

Então,

lim x → a ⁡ h x = L

Pois h x está entre as duas outras funções.

Agora vamos resolver esse limite!

Passo 2

Vamos olhar para função seno, que é uma função limitada entre:

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Isso vale para qualquer valor de x . Se multiplicarmos por 1 / x e aplicarmos o limite ficaria assim::

- 1 x ≤ sen ⁡ x x ≤ 1 x

Montamos o nosso sanduíche, agora vamos para o nosso limite!

Passo 3

Fazendo x → + ∞ , ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x ≤ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x ≤ lim x → + ∞ ⁡ 1 x

Resolvendo os limites das pontas,

0 ≤ l i m x → + ∞ sen ⁡ x x ≤ 0

Com isso, segue que:

lim x → + ∞ ⁡ sen ⁡ x x = 0

Fim!

Resposta

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.