Seja p x = x 9 - 4 x 6 - 7 x 3 - x 2 + 5 . Existe a pertencente a R tal que p a = 3 ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma função polinomial p ( x ) e tá perguntando se existe algum valor de a no conjunto dos números reais tal que p a = 3 .

Quando a gente substitui a na função e iguala a 3 , vamos ter:

p a = a 9 - 4 a 6 - 7 a 3 - a 2 + 5 = 3

a 9 - 4 a 6 - 7 a 3 - a 2 + 2 = 0

Então, pra existir um número a real que satisfaça a condição de p a = 3 , a nossa nossa função ( a 9 - 4 a 6 - 7 a 3 - a 2 + 2 ) precisa ter raízes reais.

O Teorema de Bolzano nos garante, para uma função contínua, a existência de uma raiz c na função, quando f c = 0 , se f a ∙ f b < 0 no intervalo [ a ,   b ] .

Isso quer dizer que dentro de um intervalo [ a ,   b ] existe um número c que tem um correspondente f ( c ) , e esse f c = 0 nos fornece uma raiz quando o produto de f ( a ) e f ( b ) é negativo (menor do que zero). Calma, vamos dá uma olhadinha na representação do gráfico:

Repare que c cruz o eixo x quando f c = 0 . Observe que c está dentro do intervalo [ a ,   b ] e que f a é positivo e f ( b ) é negativo. Quando fazemos f a ∙ f ( b ) , temos um número negativo também. Poderia ser f ( a ) negativo e f ( b ) positivo, o produto também seria um número negativo. O importante é que quando ocorre essa mudança de sinal, a função passa pelo eixo x e temos uma raiz ali.

Então, o que nós vamos fazer é chutar valores positivos e negativos para o a função a 9 - 4 a 6 - 7 a 3 - a 2 + 2 (que por ser um polonômio já é uma função contínua) e verificar onde esse valores mudam de sinal ( f a ∙ f b < 0 ) pra que possamos determinar a existência de uma raiz e consequentemente a existência do valor de a .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar chutando a = - 2 na função f a = a 9 - 4 a 6 - 7 a 3 - a 2 + 2 :

f - 2 = ( - 2 ) 9 - 4 ( - 2 ) 6 - 7 ( - 2 ) 3 - ( - 2 ) 2 + 2

f - 2 = - 512 - 256 + 56 - 4 + 2 = - 714

Então, f - 2 < 0 . Agora vamos chutar x = - 1 na função:

f - 1 = ( - 1 ) 9 - 4 ( - 1 ) 6 - 7 ( - 1 ) 3 - ( - 1 ) 2 + 2

f - 1 = - 1 - 4 + 7 - 1 + 2 = 3

Logo, f - 2 ∙ f - 1 = - 714 ∙ 3 = - 2 142 < 0 e temos uma raiz no intervalo [ - 2 ,   - 1 ] .

Essa não é a única raiz da função, se continuarmos a chutar números vamos ver que existem outras raízes em [ 0 ,   1 ] e em [ 1 ,   2 ]. Mas com a existência de apenas uma raiz, já podemos dizer que existe um a pertencente a R tal que p a = 3 , satisfazendo nossa condição.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∃   a ∈ R   t a l   q u e   p a = 3

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Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.