12. Se 3 x - 4 ≤ f x ≤ x 2 - 3 x + 5 para x ≥ 0 , encontre lim x → 3 ⁡ f x .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Precisamos calcular o limite de uma f x , mas não sabemos que função é essa. Mas isso não será problema para a gente, pois vamos usar o Teorema do Confronto para resolver essa questão!

Para quem não lembra, o teorema diz o seguinte:

Se temos três funções onde,

h x ≤ f x ≤ g x

E se os limites das funções da ponta são iguais,

lim x → a ⁡ h x = lim x → a ⁡ g x

Então o limite da função do meio será o igual

lim x → a ⁡ h x = lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x

Agora vamos aplicar esse teorema para ficar mais claro e resolvermos a questão!

Passo 2

Então, galerinha, o problema nos forneceu a seguinte condição,

3 x - 4 ≤ f x ≤ x 2 - 3 x + 5

E precisamos achar o limite da função do meio, mas já conhecemos as funções das pontas:

h x = 3 x - 4

g x = x 2 - 3 x + 5

Então, podemos calcular os limites de x → 3   das funções das pontas. Se elas forem iguais, esse também será o resultado da função do meio.

Passo 3

Começando por,

lim x → 3 ⁡ h x = lim x → 3 ⁡ 3 x - 4 = 5

Agora vamos para função maior,

lim x → 3 ⁡ g x = lim x → 3 ⁡ x 2 - 3 x + 5 = 5

Opaaaa! Repara que,

lim x → 3 ⁡ h x = lim x → 3 ⁡ g x = 5

Logo, pelo Teorema do Confronto, teremos que,

lim x → 3 ⁡ f x = 5

Prontinho!

Resposta

5

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre underset(x - oo)(lim) f ( x ) se, para todo x1 (10 e^x - 21)/(2 e^x)f (x)(5 sqrt(x))/(sqrt(x - 1))
Suponha que, para todo x , |g (x)| = x^4 . Calcule underset(x - 0)(lim) (g (x))/(x) .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.