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Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

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Enunciado

Seja f ( x ) uma função satisfazendo a propriedade

4 x - 1 x ≤ f x ≤ 4 x 2 + 3 x + 4 x 2

para todo x>0. Calcule lim x →   + ∞ ⁡ f x

Passo 1

Reescrever a propriedade evidenciando a maior potência

Vamos ser sagazes e adiantar trabalho pro passo 2. Se reescrevermos as funções que delimitam f x dessa forma, nossas contas vão ficar mais fáceis depois. Saca só:

4 x - 1 x ≤ f x ≤ 4 x 2 + 3 x + 4 x 2

4 x x - 1 x ≤ f x ≤ 4 x 2 x 2 + 3 x x 2 + 4 x 2

4 - 1 x ≤ f x ≤ 4 + 3 x + 4 x 2

Passo 2

Realizar o teorema do sanduíche

Eu não a expressão de f x e ninguém nesse mundo sabe. Maaaaas, isso não quer dizer que a gente não consiga resolver a questão mesmo assim. A gente sabe que f x está espremida entre outras duas funções, com um presunto entre dois pães de forma. E é exatamente por isso que podemos usar o teorema do sanduíche aqui:

4 - 1 x ≤ f x ≤ 4 + 3 x + 4 x 2

lim x →   + ∞ ⁡ 4 - 1 x ≤ lim x →   + ∞ ⁡ f x ≤ lim x →   + ∞ ⁡ 4 + 3 x + 4 x 2

4 ≤ lim x →   + ∞ ⁡ f x ≤ 4

Viu, o passo 1 não foi útil? Os termos cortados todos tendem à 0 , sobrando só o 4 dos dois lados. Se o limite que a gente quer está entre 4 e 4 , oras, o valor dele é 4 mesmo.

OBS: Desculpa se te dei fome falando de sanduíche, mas é o nome do teorema hahaha

Resposta

lim x →   + ∞ ⁡ f x = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x>1 10 e x - 21 2 e x &l
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x