Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

Calcule os seguintes limites

(b) lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 2 x

Passo 1

Sumir com a indeterminação

Toda vez que vemos uma função seno ou cosseno num limite, pra não termos problema com o que tem dentro dela, é bom a gente reescrever o limite a fim de sumir com a indeterminação, caso tenha. Bora lá então. Se:

2 x = u

Então:

x 2 = 16 u 4

E se x → 0 + , então u → + ∞

Nosso limite ganha a seguinte cara:

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 2 x = lim u → + ∞ ⁡ 16 sin ⁡ u u 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver por Teorema do Confronto

Opa, agora que minha função seno ficou “normal”, vamos ver se o teorema do confronto nos diz algo sobre esse limite. Vamos lembrar que:

1 ≥ sin ⁡ u ≥ - 1

Logo:

16 ≥ 16 sin ⁡ u ≥ - 16

4 u 4 ≥ 4 sin ⁡ u u 4 ≥ - 4 u 4

E aplicando o limite:

lim u → + ∞ ⁡ 16 u 4 ≥ lim u → + ∞ ⁡ 16 sin ⁡ u u 4 ≥ lim u → + ∞ ⁡ - 16 u 4

0 ≥ lim u → + ∞ ⁡ 16 sin ⁡ u u 4 ≥ 0

Sendo assim, vamos ter:

lim u → + ∞ ⁡ 16 sin ⁡ u u 4 = 0

Graficamente, podemos ver que realmente quando u → + ∞ , a função 16 sin ⁡ u u 4 tende à 0 e que ela está sempre entre as funções ± 16 u 4 .

Ou ainda, pra ficar mais bonito ainda, podemos ver que no gráfico do limite original realmente o limite é 0 .

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 2 x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ 2 x = 0

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