Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 32   m ³ Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Essas questões que perguntam sobre “minimizar” ou “maximizar”, tu já pode desconfiar que vai usar aquelas continhas de otimização! Então o primeiro passo que vamos fazer é definir algumas equações que regem esse sistema e encontrar o equação final.

Aproveitando essa questão, uma coisa muito importante aqui é a gente sempre prestar atenção nas unidades que as coisas nos são dadas. Então só pra gente aprender um extra aqui, imagina que ele pede pra gente as dimensões em cm e nos deu volume em m³. Como a gente pode passar cm³ para m³?

Basta lembrar que 1   m 3 = 1000000   c m ³

Vamos então trabalhar já com cm³ porque isso provavelmente vai nos dar valores mais bonitinhos hehehe

Passo 2

Seja b a dimensão do lado do quadrado da base e h a altura da caixa, daí, temos que

V = b 2 ⋅ h = 320 000 00   c m ³

Agora, vamos escrever uma fórmula para a área da caixa toda, para isso, calcularemos a área da base a a área lateral, daí temos

A b = b 2

A L = 4 ⋅ b ⋅ h

Daí, a área total da caixa é

A = b 2 + 4 b h

Do volume, temos que

h = 32 000 000 b 2

Então, substituindo na área, temos

A = b 2 + 4 b 320 000 00 b 2 = b 2 + 128 0000 00 b = b 3 + 128 000 000 b

Passo 3

Para encontrar o valor mínimo da área, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí

A ' = 3 b 3 - b 3 - 1280 00 0 0 0 b 2 = 2 b 3 - 1280 000 00 b 2

Igualando a zero

2 b 3 - 12800 00 0 b 2 = 0

2 b 3 - 12800 00 0 = 0

b 3 = 640 0 00

b = 40   c m

Encontrando h

h = 32000 40 2 = 32000 1600 = 20   c m

Resposta

A caixa deve ter um quadrado na base com lado igual a b = 40   c m e uma altura h = 20   c m .

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