Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm³ . O material da tampa

e da base vai custar R$3, 00 por centímetro quadrado e o material para os lados R$1, 50 por

centímetro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mínimo.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular as dimensões de uma caixa de modo a minimizar seu custo de fabricação. Como a caixa fechada tem base quadrada, vamos chamar os lados da base quadrada de a e a altura dos lados, chamaremos de b. Então, como o volume da caixa é a área da base vezes a altura, temos que as medidas a e b têm que satisfazer a relação

V = 2000 = a 2 b

E, portanto, temos que as medidas a e b estão restritas por essa relação. Mas e quanto ao custo? Bem, a questão nos diz que cada centímetro quadrado das tampas custam 3 reais e, para o material dos lados são 1,50 reais por cm². Então, o custo total é dado pelo preço por área da base quadrada vezes a área da base quadrada das duas tampas ( 2 × 3,00 × a ² ) mais o preço por área das laterais vezes a área dos retângulos da lateral dos 4 lados da caixa ( 4 × 1,50 × a b ), onde ab é a área de um retângulo lateral. Então, o custo total C(a,b) pode ser escrito como

C ( a , b ) = 2 × 3,00 × a ² + 4 × 1,50 × a b = 6 ( a 2 + a b )

Temos, então, que a função custo é uma função de duas variáveis. Mas como a e b estão vinculados pela relação do volume, podemos escrever a b = 2000 a e substituir na função custo, transformando-a em uma função de uma única variável:

C ( a , b ) = 6 a 2 + 2000 a

Agora que temos a função custo, só precisamos descobrir para qual valor ela é extremizada. E como a gente faz isso? Sabemos que, em um ponto de extremo, a derivada de uma função é nula. Então tudo que precisamos fazer é derivar a função custo e igualar isso a zero! Então vamos lá!

Passo 2

Como a derivada de uma soma de funções é simplesmente a soma das derivadas, a gente tem que a derivada de C(a) é dada por

C ' ( a ) = 12 a - 12000 a 2

Igualando isso a zero, obtemos

12 a - 12000 a 2 = 0 ⇒ a 3 = 1000 ⇒ a = 10

Então, temos que o lado da área da base, para que o custo seja o menor possível, deve ser 10 cm. Com isso, como o volume da caixa tem de ser 2000 cm³, descobrimos que a altura da caixa deve ser:

a ² b = 2000   ⇒ b = 20 c m

Portanto, as dimensões da caixa devem ser a = 10 cm e b = 20 cm

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Comprimento da base: 10 cm

Altura da caixa: 20 cm

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