Determine uma reta r tangente ao gráfico de y = 1 - x 2 de modo que a distância da origem até r seja a menor possível.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar uma reta tangente ao gráfico y = 1 - x 2 de modo que a distância da origem até r seja a menor possível.

Tá... Primeiramente temos que ter em mente que a equação da reta tangente em um ponto p é dada por:

y - f p = f ' p x - p

Ainda, também temos que saber que a fórmula para a distância entre um ponto com coordenadas x , y e uma reta (com equação a y + b x + c = 0 ) é dada por:

d = a x + b y + c   a 2 + b 2

Assim, temos que minimizar d de tal forma que encontremos a menor distância.

Então vamos devagarinho aqui que vai dar certo!!

😉

Passo 2

Bom... fazendo a derivada de f x para o ponto p , temos:

f ' p = - 2 p

Assim, aplicando na equação da reta tangente, temos:

y = - 2 p x + 1 + p 2 ∴

y + 2 p x - 1 - p 2 = 0

Logo, substituindo na equação da distância d e lembrando que o ponto é a origem 0,0 , temos:

d = 1 * 0 + 2 p * 0 + - 1 - p 2   1 2 + 2 p 2 ∴

d p = 1 + p 2 1 + 4 p 2

Passo 3

Agora, a fim de minimizar a equação d p , devemos derivá-la e igualar a zero:

d ' p = 2 p 1 + 4 p 2 - 1 + p 2 4 p 1 + 4 p 2 1 + 4 p 2 = 0 ∴

2 p 1 + 4 p 2 - 4 p 1 + p 2 = 0 ∴

2 p + 8 p 3 - 4 p - 4 p 3 = 0 ∴

2 p 3 - p = 0 ∴

p = 0 ou p = ± 2 2

Que são os pontos críticos da função d p .

Passo 4

Agora, testando esses valores na função d p , temos:

d 0 = 1

E

d ± 2 2 = 1 + 1 2 1 + 4 1 2 ≈ 0,87

Assim, temos que a reta r é dada pela seguinte equação:

y = - 2 p x + 1 + p 2

Com p = ± 2 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - 2 p x + 1 + p 2

Com p = ± 2 2 .

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