a ) Uma escada de 8   m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2   m / s , com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Temos aqui um problema de otimização, ou modelagem, ou de taxas relacionadas, pode escolher o nome que preferir. O enunciado nos dá uma escada com 8   m de comprimento encostada na parede, cuja extremidade inferior se afasta da parede com velocidade constante v =   2   m / s , como o seguinte esquema

Agora, o enunciado nos pede para obter como a altura y , ou seja, a velocidade com que a extremidade superior desce pela parede quando x = 3 . Meio obscura a forma de resolver esse problema?

Mas tenha calma! Para isso, tudo que precisamos fazer é relacionar y com x de alguma forma, e calcular a derivada de y em relação a x . A dica que dou é, temos um triângulo retângulo, e nos foi dado o valor da hipotenusa, como achar o cateto oposto em relação ao adjacente? Captou? Vem comigo!

Passo 2

Note que como temos um triângulo retângulo, podemos relacionar os catetos com a hipotenusa usando o teorema de pitágoras, da seguinte maneira

8 2 = x 2 ( t ) + y 2 ( t )

Isolando y 2 , temos que

y 2 ( t ) = 64 - x 2 ( t )

Podemos então tirar a raiz para obter que

y ( t ) = ± 64 - x 2 ( t )

Escolher o sinal positivo ou negativo aqui indica escolher se y ( t ) neste referencial é positivo ou negativo, portanto, por simplicidade, vamos escolher o sinal positivo! Belezinha? Maravilha! Tendo esta relação em mãos! Vamos calcular essa derivada!

Passo 3

Para calcular a derivada vamos utilizar a regra da cadeia e a regra do tombo, note que temos uma função composta da forma

f ( g ( x ( t ) ) ) = 64 - x 2 ( t )

Então, estou definindo que f ( g ) = g e g ( x ( t ) ) = 64 - x 2 ( t ) . Pela regra da cadeia temos que

d d t f ( g ( x ( t ) ) ) = d f ( g ) d g d g ( x ) d x d x ( t ) d t = d d g ( g ) d d x ( 64 - x 2 ) d x ( t ) d t

Agora, a regra do tombo é tal qual

d d x x n = n   x n - 1

Ou seja, com n = 1 / 2 , temos a seguinte derivada

d d g g = 1 2 g

e, também temos para a outra derivada

d d x ( 64 - x 2 ) = d d x ( 64 ) - d d x ( x 2 )

Agora, como derivadas de constantes é sempre 0 , e usando a regra do tombo com n = 2 , temos que

d d x ( 64 - x 2 ) = 0 - 2 x 2 - 1 = - 2 x

Usando agora que y = f ( g ( x ) ) , em que g ( x ) = 64 - x 2 , temos que

d y d t = d d g ( g ) d d x ( 64 - x 2 ) d x ( t ) d t = - 2 x 2 64 - x 2 d x ( t ) d t

Ou simplificando, temos que

d y d t = - x 64 - x 2 d x ( t ) d t

Maravilha! Note que temos uma relação entre a derivada de y ( t ) e a derivada de x ( t ) , ou em palavras um pouco mais físicas, uma relação entre a velocidade que a extremidade superior desce pela parede e a velocidade que a extremidade inferior se afasta da parede! Utilizando os dados no enunciado agora podemos calcular o resultado desejado! Bora lá!

Passo 4

O enunciado disse que a velocidade com que a extremidade inferior se afasta é 2   m / s , portanto, em nossa escolha, temos que

v x = d x ( t ) d t = 2   m / s

E, é pedido para encontrar quem é v y = d y d t quando, temos que x = 3   m , ou seja, utilizando a derivada que calculamos, temos

d y d t = - x 64 - x 2 d x ( t ) d t = - 3 64 - 3 2 ( 2 )

Fazendo as continhas necessárias, na calculadora, na mão, ou onde quiser, temos que

d y d t = - 0,81   m / s

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d y d t = - 0,81   m / s

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