Num motor a combustão, uma biela de 7 c m tem uma de suas extremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de 3 c m . Na outra extremidade da biela está um pistão que se move quando a manivela gira (vide Figura abaixo). Sabendo que a manivela gira no sentido anti-horário a uma taxa constante de 200 rotações por minuto, calcule a velocidade do pistão quando o ângulo de rotação do disco é π / 3 (medido a partir da posição em que o pistão está mais afastado do disco).

Passo 1

x e o ângulo θ são variáveis. Temos também a frequência de rotações (se multiplicarmos por 2 π teremos θ ' ). E pediu a taxa de variação da distância x . E agora, como relacionar?

Mas espera aí! Sabemos a lei dos cossenos! Aplicando no nosso esquema temos

Então vamos derivar dos dois lados em relação ao tempo e substituir nos dados!

Tranquilo? Relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Bora lá!

Passo 2

Derivando a lei dos cossenos

7 2 = x 2 + 3 2 - 2 . x . 3 . cos ⁡ θ

0 = 2 x d x d t - 6 d x d t cos ⁡ θ - x s e n θ d θ d t

Agora vamos os dados:

Quando θ = π 3 temos que x é

7 2 = x 2 + 9 2 - 2.3 . x . cos �� π 3

x 2 - 3 x - 40 = 0

Aplicando a formula de bascara, temos duas raízes: uma positiva e outra negativa. Vamos pegar apenas a positiva

x = 8

E multiplicando a frequência por 2 π temos d θ d t :

d θ d t = 200 * 2 π = 400 π

Beleza?

Agora é só substituir na derivada

0 = 2 . 8 d x d t - 6 d x d t cos ⁡ π 3 - 8 . sin ⁡ π 3 . 400 π

Assim, isolando d x / d t temos

d x d t = 6.8 . 3 2 . 400 π 6.1 2 - 2.8 = 9600 3 π 13

E é isso! Até a próxima!

Resposta

9600 3 π 13

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t