Uma refinaria de petróleo está em A na margem norte de um rio reto que tem L = 6 k m de largura. Um oleoduto deve ser construído da refinaria até um tanque de armazenamento em B na margem sul do rio, D = 10   k m a leste da refinaria. O custo de construção do oleoduto é R $ 8   × 10 5 / k m sobre a terra, até um ponto P na margem norte do rio e R $ 10   × 10 5 / k m sob o rio até o tanque.

  1. Obtenha o custo total de construção do oleoduto, C x , em função da distância x ∈ 0,10 , entre A e P.
  2. Determine os pontos críticos de C em ( 0,10 ) .
  3. Qual o valor de x que minimiza o custo de construção do oleoduto?

Passo 1

Fala aí, pessoal, vamos fazer uma questão bem prática que é uma questão de custos de um projeto!

Começamos com a distância x entre os pontos A e P que fica sobre a terra, o preço por quilômetro é R $ 8   × 10 5 / k m . Então o custo de instalar todo esse comprimento x é:

C 1 x = 8   × 10 5 ⋅ x

Agora vamos calcular a distância d na água entre os pontos P e B:

Veja que temos a largura do rio L = 6 k m e o comprimento do rio D = 10 k m , você concorda comigo que formamos um triângulo nessa região do rio:

Vamos olhar com mais carinho para o triângulo:

Nós queremos saber a distância que o oleoduto vai passar pela água, então queremos descobrir o valor de d . Beleza? Veja que temos um triângulo retângulo, então podemos usar o Teorema de Pitágoras, mas para isso, precisamos saber o valor do outro cateto entre os pontos P e C.

Se olharmos que o comprimento total da margem é D = 10 k m , se a distância entre A e P é igual a x , então a distância entre P e C é o valor total da margem menos a distância x :

10 - x

Então terminamos de formar nosso triângulo:

Passo 2

Nossa distância d sobre a água então é:

d = 10 - x 2 + 6 2

Então o custo desse trecho é:

C 2 x = d ⋅ 10   × 10 5 = 10 - x 2 + 6 2 ⋅ 10   × 10 5

Então o custo total é a soma do custo do trecho sobre terra e do trecho sob o rio:

C t o t a l =   C 1 x + C 2 ( x )

C t o t a l = 8   × 10 5 ⋅ x + 10 - x 2 + 6 2 ⋅ 10   × 10 5  

Melhorando esse formato ai:

C t o t a l = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ 10 - x 2 + 6 2

Essa é a função do nosso custo! Já foi a letra “a”, certo?

Passo 3

Agora vamos para a letra “b”, ele deseja saber quais são os pontos críticos para essa função de custo:

C t o t a l = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ 10 - x 2 + 6 2

C t o t a l = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ x 2 - 20 x + 100 + 36 = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ x 2 - 20 x + 1 36

Vamos relembrar que os pontos críticos existem quando encontramos um ponto onde a derivada da função não existe ou um ponto onde a derivada da função é igual a zero. Então o nosso primeiro passo é calcular a derivada dessa função de custo:

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ x 2 - 20 x + 136 '

Veja que podemos reescrever essa raíz quadrada como:

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ x 2 - 20 x + 136 1 / 2 '

Derivando essas parcelas, vamos usar a Regra da Cadeia:

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ x 2 - 20 x + 136 1 2 '

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 + 10 6 ⋅ 1 2 ⋅ ( 2 x - 20 ) ⋅ x 2 - 20 x + 136 - 1 / 2

Simplificando isso aí:

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 + 10 6 ⋅ x - 10 x 2 - 20 x + 136 1 2 = 8 ⋅ 10 5 + 10 6 ⋅ x - 10 10 - x 2 + 6 2

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - x 2 + 6 2 + 10 6 ⋅ x - 10 10 - x 2 + 6 2

Agora que sabemos a derivada da função, queremos saber onde ela não existe ou onde ela é igual a zero. Vamos começar pensando que valores de x fazem com que essa função não exista, ela não existirá, caso o denominador seja igual a zero:

10 - x 2 + 6 2 = 0

Vamos elevar ao quadrado esses dois lados:

10 - x 2 + 6 2 = 0 2 = 0

Se nós desenvolvermos esse produto notável:

100 - 20 x + x 2 + 36 = 0 → x 2 - 20 x + 136 = 0

Usando Bhaskara, vamos encontrar:

x = 20 ± - 20 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 136 2 ⋅ 1 = 20 ± 400 - 544 2 = 20 ± - 1 44 2

Como temos uma raíz quadrada de um valor negativo, teremos duas raízes do polinômio como números complexos, logo, essas raízes não estão dentro do intervalo ( 0,10 ) .

Não temos pontos críticos através da inexistência da derivada, então vamos tentar encontrar pontos onde a derivada é igual a zero:

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - x 2 + 6 2 + 10 6 ⋅ x - 10 10 - x 2 + 6 2 = 0

Vamos passar o denominador para o outro lado:

8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - x 2 + 6 2 + 10 6 ⋅ x - 10 = 0 ⋅ 10 - x 2 + 6 2 = 0

Vamos colocar essa primeira parcela dentro da raiz quadrada em evidência:

8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - x 2 ⋅ 1 + 6 2 10 - x 2 + 10 6 ⋅ x - 10 = 0

Podemos retirar ela de dentro da raiz quadrada:

8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - x ⋅ 1 + 6 2 10 - x 2 + 10 6 ⋅ x - 10 = 0

Como:

10 - x = - ( x - 10 )

Então podemos cortar esse elemento das duas parcelas:

8 ⋅ 10 5 ⋅ 1 + 6 2 10 - x 2 - 10 6 = 0

Vamos passar todos os números para o outro lado:

8 ⋅ 10 5 ⋅ 1 + 6 2 10 - x 2 = 10 6 → 1 + 6 2 10 - x 2 = 10 6 8 ⋅ 10 5 = 10 8

E como vamos terminar de resolver isso? Elevar os dois lados ao quadrado:

1 + 6 2 10 - x 2 = 100 64

Então:

6 2 10 - x 2 = 100 64 - 1 = 36 64

Olhando bem para essa igualdade:

6 2 10 - x 2 = 36 x 2 - 20 x + 100 = 36 64

Chegamos em uma igualdade nos denominadores:

x 2 - 20 x + 100 = 64

Então temos que resolver através de Bhaskara:

x 2 - 20 x + 100 - 64 = 0 → x 2 - 20 x + 36 = 0

x = - - 20 ± - 20 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 36 2 ⋅ 1 = 20 ± 400 - 144 2

x = 20 ± 256 2 = 20 ± 16 2 = 20 ± 16 2

Então temos as seguintes raízes possíveis:

x 1 = 36 2 = 1 8

x 2 = 4 2 = 2

Lembrando que nosso intervalo é de 0 a 10 , então a única raiz que podemos usar como ponto crítico é:

x = 2

Logo, chegamos a conclusão que esse é o único ponto crítico!

Passo 4

Agora que já encontramos o valor do ponto crítico, nossa letra “c” nos pede o valor de x que minimiza o custo de construção do oleoduto, ou seja, o ponto mínimo da função de custo:

C t o t a l = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ 10 - x 2 + 6 2

Mas para encontrar esse ponto mínimo, temos que usar o ponto crítico que encontramos no item anterior! Agora você já viu sentido no que estamos fazendo? Beleza!

x = 2

E como nós verificamos se esse ponto é mínimo? Através do teste da primeira derivada, se:

f ' 2 + c > 0

E

f ' 2 - c < 0

Ai sim podemos afirmar que f ( 2 ) é ponto de mínimo!

Então vamos testar isso na derivada:

C t o t a l ' = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - x 2 + 6 2 + 10 6 ⋅ x - 10 10 - x 2 + 6 2

Para um ponto maior que o ponto crítico:

C t o t a l ' 2 + 2 = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - 4 2 + 6 2 + 10 6 ⋅ 4 - 10 10 - 4 2 + 6 2

Calculando isso:

C t o t a l ' 2 + 2 = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 8,485 + 10 6 ⋅ ( - 6 ) 8,485 = 67,88 ⋅ 10 5 - 6 0 ⋅ 10 5 8,485 = 0,929 ⋅ 10 5 > 0

Agora vamos calcular para um ponto menor que o ponto crítico:

C t o t a l ' 2 - 2 = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - 0 2 + 6 2 + 10 6 ⋅ 0 - 10 10 - 0 2 + 6 2 = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 10 2 + 6 2 + 10 6 ⋅ - 10 10 2 + 6 2

C t o t a l ' 2 - 2 = 8 ⋅ 10 5 ⋅ 1 00 + 0 - 10 ⋅ 10 6 1 00 + 36 = 8 ⋅ 10 ⋅ 10 5 - 10 ⋅ 10 6 11,66

Então:

C t o t a l ' 2 - 2 = 8 0 ⋅ 10 5 - 100 ⋅ 10 5 11,66 = - 20 ⋅ 10 5 11,66 < 0

Como o teste da primeira derivada bateu com o que pensamos inicialmente:

f ' 2 + c = 0,929 ⋅ 10 5 > 0

E

f ' 2 - c = - 20 ⋅ 10 5 11,66 < 0

Sabemos que x = 2 é um ponto que minimiza o custo!

Resposta

  1. C t o t a l = 8 ⋅ 10 5 ⋅ x + 10 6 ⋅ 10 - x 2 + 6 2

  2. x = 2

x = 2

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