9. Deseja construir um celeiro em um terreno retangular de área igual à 50 m 2 . Sendo um lado do muro já levantado, quais as medidas desse celeiro para que o muro tenha o menor comprimento possível.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que dimensionar uma área retangular cuja área deve ser de 50 m 2 . Nosso objetivo é definir os parâmetros do lado e altura do retângulo de modo que um lado do retângulo seja a menor possível.

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

A área do retângulo é dada pela equação

A = l · h

Onde l é a largura e h a altura.

Já o perímetro do retângulo é dado por

P = 2 l + 2 h

A partir daí o que temos que substituir a função perímetro na função área e obter o ponto máximo da função resultante.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Queremos descobrir os valores de l e h e pra isso temos apenas o valor de A , ou seja

A = 50 = l · h

Podemos isolar uma das variáveis em 50 = l · h e substituir em P ...

50 = l · h → h = 50 l

Substituindo h em P , temos

P = 2 l + 2 h → P = 2 l + 2 50 l

P = 2 l + 100 l

Agora temos que obter os pontos críticos de P derivando a função e igualando a 0

A ' = d 2 l + 100 l d l = 2 - 10 0 l 2

Igualando a 0 , temos

2 - 10 0 l 2 = 0 → l = 5 2 m

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Como vimos anteriormente, o melhor valor possível para l de modo que o perímetro do retângulo seja o menor possível é l = 5 m .

A partir da equação da área podemos obter o valor de h

h = 50 l → h = 50 5 2

h = 5 2 m

Assim, podemos calcular o perímetro P como

P = 2 5 2 + 2 5 2

P = 20 2 m

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

P = 20 2 m

h = 5 2 m

l = 5 2 m

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t