1. Uma peça mecânica é construída a partir de uma esfera de raio R na qual faz-se um pequeno furo cilíndrico cujo eixo de simetria passa exatamente pelo centro da esfera. Determine o raio do furo para o qual a área total seja máxima.

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos tratar de um problema de otimização.

Mas o que é otimizar?

Bom, otimizar significa chegar ao ótimo, à melhor situação possível. Em Cálculo 1 isso implica dizer que vamos ter uma situação que pode ser descrita por uma função f ( x ) , e vamos procurar um x o , de tal forma que

f ' x o = 0

Esse ponto x o representa o cenário ideal que buscamos alcançar.

Ah, e mais uma coisa antes de passarmos pra questão em si, otimizar pode tanto significar obter o máximo quanto o mínimo de uma situação. Agora vamos pra nossa questão.

Passo 2

Vamos agora observar a seguinte imagem, que representa uma visão superior a peça

Se usarmos um pouco da nossa imaginação conseguiremos ver que a área da peça é a área da superfície esférica, mais a área do cilindro formado no interior da esfera menos a área das “tampas” do cilindro. Ou seja,

A p e ç a = A ( r ) = A e s f e r a + A c i l i n d r o - A t a m p a = 4 π R 2 + 2 π r ∙ 2 R - 2 π r 2

Passo 3

Vamos agora derivar a nossa função. Assim,

A ' r = 0 + 4 π R - 4 π r

Agora, igualamos a derivada a 0, e

A ' r o = 0

⇒ 4 π R - 4 π r o = 0

⇒ 4 π R = 4 π r o

⇒ R = r o

Logo, o raio ideal é se r o = R

Por hoje é isso pessoal, terminamos 😅😅. Até a próximaa!!

Resposta

r o = R

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