Determine o retângulo de maior área e lado paralelos aos eixos coordenados que está inscrito na elipse 4 x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos diz para determinar a maior área de lados paralelos de um retângulo inscrito na elipse dada por:

4 x 2 + y 2 = 1

Graficamente, temos:

Para descobrirmos esse retângulo, primeiramente precisamos aplicar a equação da elipse na equação da área do retângulo.

Para isso, como queremos encontrar a área máxima, iremos derivar e igualar a equação resultante a zero para descobrirmos os pontos.

Eita... muita informação, né?

Então vamos devagarinho aqui que vai dar certo!!

😉

Passo 2

Bom...sabemos que a área A de um retângulo é dada pelo produto da sua base b por sua altura h :

A = b * h

Passando para os valores das coordenadas, podemos interpretar a área da seguinte forma:

A = x * y

Por outro lado, podemos isolar o x na equação da elipse:

4 x 2 + y 2 = 1 ∴

x = 1 - y 2 4

Substituindo na equação da área do retângulo, temos:

A = y * 1 - y 2 4

Reorganizando, temos:

A = y 2 1 - y 2 4 ∴

A = y 2 - y 4 4

Passo 3

Derivando a equação, temos:

A ' = d d y y 2 - y 4 4

Aplicando a Regra da Cadeia, temos:

A ' = 1 2 y 2 - y 4 4 d d y y 2 - y 4 4 ∴

A ' = - 2 y 2 + 1 2 1 - y 2

Igualando a zero, temos:

- 2 y 2 + 1 2 1 - y 2 = 0 ∴

- 2 y 2 + 1 = 0 ∴

y 2 = 1 2

y = ± 2 2

Passo 4

Agora, substituindo os valores de y na equação da elipse, podemos encontrar os valores de x :

4 x 2 + 1 2 = 1 ∴

x 2 = 1 2 4 ∴

x = ± 1 2 2

Assim, plotando no gráfico, vamos ter o seguinte retângulo inscrito:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t