Uma empresa foi fundada em 1990 e sua capacidade de produção P = P (t) evoluiu segundo:

P ( t )   =   50000 [ 700 + ( t - 20 ) 2 ] 2 ,   t ≥ 0

(b) Qual foi essa capacidade?

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos pede para calcularmos o ano em que a empresa obteve a maior capacidade de produção, considerando o instante inicial t = 0 como o ano de fundação: 1990. Bem, para a gente obter os pontos de extremo de uma função, precisamos exigir que sua derivada seja nula. Mas por quê? Ora, em um ponto de máximo, a função não cresce a partir desse ponto, caso contrário ele não seria um máximo. E, em um ponto de mínimo, a função não diminui a partir desse outro ponto, se não ele não seria um ponto de mínimo. Imagina a seguinte situação: conforme você vai aumentando o valor de t, a função vai crescendo e crescendo até atingir seu valor máximo. A partir daí, ela tem que decrescer (para que esse ponto tenha sido máximo). Bem, a gente sabe que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação à variável do domínio. Então, para calcular os pontos de extremos, só precisamos exigir que a derivada seja nula, porque, para ser um ponto de extremo (ou de inflexão) de uma função contínua, a derivada tem que mudar de sinal! Se nos aproximamos de um ponto de máximo, a derivada deve ser positiva pois a função está crescendo para atingir seu máximo. Agora, após passar esse ponto, a derivada tem que ser negativa, porque a função tem que decrescer a partir do máximo, ou então ele não seria um máximo da função. Então, bora calcular a derivada? Vamos lá!

Passo 2

Para calcular a derivada da função P(t), vamos utilizar a regra da cadeia. Se definirmos as funções f ( w ) = 50000 w 2 , w ( u )   = 700   +   u 2   e u ( t )   =   t - 20 , temos que a função P(t) pode ser escrita como P ( t )   =   f ( w ( u ( t ) ) ) . Então, pela regra da cadeia, podemos derivar P(t) em relação a t, fazendo

d d t P ( t ) =   P ' ( t )   = d d w f ( w ) × d d u w ( u ) × d d t   u ( t )

Como d d w f ( w )   =   - 2 × 50000 [ 700 + ( t - 20 ) 2 ] 3 , d d u w ( u ) = 2 ( t - 20 ) 2 e d d t u ( t ) = 1 , substituindo na expressão acima, obtemos

d d t P ( t ) =   P ' ( t )   = - 200.000 × ( t - 20 ) [ 700 + ( t - 20 ) 2 ] 3

Como queremos que isso seja igual a zero, para que essa fração se anule, basta que o numerador se anule e o denominador seja não nulo. Assim, temos que 200.000 × ( t - 20 )   = 0   ⇔   t = 20 . Portanto, temos que quando t =20, a derivada da função é nula, o que significa que a capacidade de produção atinge um extremo no ano de 1990 + 20 = 2010. Dá só uma olhada no gráfico:

Passo 3

Agora, para calcular qual foi a capacidade máxima de produção, só precisamos substituir o tempo em que isso ocorreu na função P(t) que nos dá a capacidade em função do tempo. Então vamo lá!

P ( 20 )   =   50.000 [ 700 + ( 20 - 20 ) 2 ] 2 =   50.000 700 2 ≃ 0.102

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

t = 20;

Ano: 2010;

Capacidade máx 0.102.

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