Enunciado

Com que dimensões uma caixa com base quadrada e sem tampa pode ser construída de forma que seu volume seja máximo, utilizando-se de 1200cm² de papelão?

Passo 1

Bem, esse é um problema de otimização, porque toda vez que te perguntarem algo do tipo: ah, calcula o máximo ou mínimo de uma coisa...já tenha sempre em mente: provavelmente isso será um problema de otimização. O primeiro passo é a gente imaginar uma caixa de base quadrada, com lado de tamanho y e a altura x .

A gente sabe então que a área superficial dessa caixa vai ser dada pela soma da área da base com as áreas dos lados desse caixa, certo?

A = y 2 + 4 x y

E a gente sabe que o valor máximo que essa área pode ter é a área disponível de papelão...

y 2 + 4 x y = 1200

Por sua vez, o volume da caixa será dado pelo produto da área da base e sua altura:

V = y 2 x

Passo 2

Isolando x na equação da área, temos:

x = 1200 - y 2 4 y

Vamos agora substituir esse x dentro da nossa equação do volume, beleza?

V = y 2 1200 - y 2 4 y = 300 y - y 3 4

Tá, mais por qual motivo você tá fazendo isso? Lembre-se sempre que nesses tipos de problema a gente sempre ou quase sempre terá uma equação que é aquela que relaciona diretamente o parâmetro que temos interesse em conhecer seu máximo ou mínimo (no nosso caso, o volume) e uma equação de restrição, que no caso é a quantidade de área disponível de papelão. E aí você vai ter que tentar correlacionar essas paradas sempre, a equação “principal” e a restrição.

Passo 3

Passo 4

Agora que temos a nossa equação do volume com a restrição dentro, vamos derivar em função de y , afinal foi a única variável que ficou ali. Nos problemas de otimização, para se conhecer o máximo ou mínimo, precisamos igualar a derivada a zero, então vamos fazer isso.

d V d y = 300 - 3 y 2 4 = 0

3 y 2 = 4 × 300

y 2 = 400

y = 20   c m

Logo, o volume máximo será:

V = 300 y - y 3 4

V = 300 20 - 20 3 4 = 4000   c m ³

Resposta

V m á x = 4000   c m ³

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