Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte e de 1.2 m , a taxa de variação com que a areia e despejada e de 0 ,   081 m 3 / m i n . Qual a taxa de variação da altura do monte neste instante?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa é uma questão de taxas relacionadas, vamos ver o que o problema nos diz! Ela nos diz que temos um cone sendo formado, e que o diâmetro da base é três vezes a altura. E pediu a taxa de variação da altura em relação ao tempo. E agora, como relacionar?

Mas espera aí! Sabemos a relação entre volume de um cone, raio e altura

V = 1 3 π r 2 h

No nosso caso 2 r = 3 h → r = 3 h 2 daí temos uma expressão para o volume em relação a altura

V = 3 4 π h 3

Então vamos derivar dos dois lados em relação ao tempo e substituir nos dados!

Tranquilo? Relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Bora lá!

Passo 2

Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo temos

V = 3 4 π h 3

d V d t = 3 4 π 3 h 2 d h d t

Agora vamos os dados:

h = 1,2 m

d V d t = 0,081   m 3 / m i n

d h d t = ?

Assim

0,081 = 3 4 π . 3 1,2 2 d h d t

d h d t = 0,025 π = 1 40 π   m / m i n

E é isso! Até a próxima!

Resposta

1 40 π   m / m i n

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