Entre todas as latas cilíndricas de volume 1 litro, raio da base r e altura h , qual a que tem menor área superficial.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Agora que deu vontade de tomar uma latinha, temos que saber qual lata formaria um litro de volume gastando a menor área possível de metal da latinha. É... tem que estar muito bêbado pra pensar nisso, eu mesmo prefiro tomar hahaha.

Brincadeiras à parte, sabemos que o volume de um cilindro é dado por:

V = A * h = π r 2 h

E a área cilíndrica é:

A = 2 A b a s e + A l a t e r a l

A = 2 π r 2 + 2 π r h

Tendo o volume, sabemos que:

1000 = π r 2 * h

E assim encontramos uma relação de h em função de r

h = 1000 π r 2

Tendo o valor de h podemos colocar na equação da área e calcular o seu máximo.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, se queremos achar um ponto no qual uma função é máxima, o que fazemos? Derive a função e iguale a 0, depois ache o valor desse ponto.

Confuso né?! Não se importe com as falas de quem ao invés de beber a lata quer calcular o volume dela.

Para facilitar, vamos mostrar na prática.

Temos:

A = 2 π r 2 + 2 π r h

Substituindo h

A = 2 π r 2 + 2 π r 1000 π r 2

Passo 3

Derivando e igualando a 0 :

A ' = 4 π r - 2000 r 2 = 0

r = 500 π 3

Assim:

h = 1000 π r 2 = 1000 π 500 π 2 3

Resposta

r = 500 π 3

h = 1000 π 500 π 2 3

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