Exercícios Resolvidos de Otimização

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 276-73.

A altura de um corpo que se desloca verticalmente é dada por:

  s = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

Com s em metros e t em segundos. Determine a altura máxima do corpo.

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Analisando a equação e o esquema, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

s = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

Note, que v 0 (velocidade inicial), g (aceleração da gravidade) e s 0 (posição inicial) são valores constantes. Deste modo, o tempo é a única variável.

Para encontrar o máximo da função s ( t ) , vamos derivar essa função.

Passo 3

Agora, para achar o ponto de máximo, temos que encontrar os pontos críticos. Para isso, derivamos:

s ( t ) = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

s ' t = - g t + v 0 , g > 0

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada não existe ou é zero. Como se trata de um polinômio, ela vai sempre existir. Vamos ver quando será zero:

- g t + v 0 = 0 ⟹ g t = v 0 ⟹ t = v 0 g

Passo 4

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Uma forma de determinar a presença de máximos e mínimos e pelo teste da segunda derivada. Então vamos aplicá-lo:

s ' t = - g t + v 0 , g > 0

s ' ' t = - g , g > 0

Como a questão garante que g > 0 . A segunda derivada é negativa no ponto crítico, ou seja, temos um ponto de máximo.

Passo 5

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros pontos críticos na função, então não precisamos comparar com outros pontos.

Passo 6

Vamos verificar agora as fronteiras (menor e maior tempos) para garantir que este é um máximo global (altura máxima).

A função começa em t = 0 (menor tempo), uma vez que o tempo não pode ser negativo. Para tal valor:

s 0 = s 0

Para o maior tempo, vamos considerar t → + ∞ , então vamos aplicar o limite:

lim t → ∞ ⁡ - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 = - ∞

No Passo 3, encontramos o ponto crítico:

s v 0 / g = - 1 2 g v 0 2 g 2 + v 0 v 0 g + s 0 = - 1 2 v 0 2 g + v 0 2 g + s 0 = v 0 2 2 g + s 0

Comparando os valores de menor e maior tempo com o ponto crítico, vemos que t = v 0 / g é máximo global.

Assim, o s para esse tempo será:

s = - 1 2 g v 0 g 2 + v 0 v 0 g + s 0

s = v 0 2 2 g + s 0

Resposta

s = v 0 2 2 g + s 0 ,     e m   t = v 0 / g

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas