Uma ilha situada a 40   k m da costa deve ter um serviço de barcos para uma cidade A (figura ao abaixo). Se os barcos têm velocidade média de 15   k m / h e os carros uma velocidade média de 45   k m / h , onde deverá estar situada a estação de barcos na costa, a fim de tornar a via a mais rápida possível?

Passo 1

Observe a figura abaixo, que representa melhor a situação descrita no enunciado.

Para achar o percurso mais rápido temos que descobrir o tempo mínimo para a pessoa fazer a travessia de barco e depois seguir de carro até A . Observe que o percurso de barco corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 40 e x . Então o percurso de barco mede

S b a r c o = 1600 + x ²   k m

Sendo a velocidade do barco igual a 15   k m / h , o tempo pra fazer a travessia é

t b a r c o = 1600 + x 2 15   h

O trecho que será percorrido de carro é 100 - x   k m . Logo, o tempo gasto de carro é

t c a r r o = 100 - x 45   h

Finalmente, o tempo total para chegar na cidade A é

t t o t a l   = t b a r c o + t c a r r o

t t o t a l   = 1600 + x 2 15 + 100 - x 45   h

Passo 2

Agora podemos derivar t t o t a l   para depois encontrarmos o ponto onde seu valor é mínimo.

t ' t o t a l   = x 15 1600 + x 2 - 1 45

Em posse da derivada, vamos igualar ela a zero e achar os pontos críticos.

x 15 1600 + x 2 - 1 45 = 0

x 15 1600 + x 2 = 1 45

45 x = 15 1600 + x 2

3 x = 1600 + x 2

9 x 2 = 1600 + x 2

8 x 2 = 1600

x 2 = 200

x = 10 2

Passo 3

Agora vamos descobrir se o ponto encontrado é um mínimo da função analisando o sinal da derivada antes e depois desse ponto.

  • Antes de   x = 10 2 :   A ' t o t a l   < 0
  • Depois de   x = 10 2 :   A ' t o t a l   > 0

Portanto, x = 10 2 é um mínimo local.

Passo 4

Sabendo que a distância da estação de barcas até a idade é

100 - x

podemos descobrir esse valor substituindo x pelo valor encontrado anteriormente.

Então a estação está situada a

100 - 10 2   k m

da cidade A .

Resposta

100 - 10 2   k m

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