O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 8 cm/s e sua largura está

aumentando a uma taxa de 3 cm/s. Quando o comprimento está 20 cm e largura está 10 cm,

quão rápido a área do retângulo está aumentando?

Passo 1

Para encontrar a taxa de variação da área do retângulo, podemos usar a derivada implícita da fórmula da área ( A = c o m p r i m e n t o × l a r g u r a ) em relação ao tempo.

Dada a taxa de aumento do comprimento d c o m p r i m e n t o d t = 8 c m s   e a taxa de aumento da largura d l a r g u r a d t = 3 c m s queremos encontrar d A d t quando o comprimento é 20 cm e a largura é 10 cm.

A fórmula da área é:

A = c o m p r i m e n t o × l a r g u r a  

Diferenciando ambos os lados da equação em relação ao tempo \(t\):

d A d t = d c o m p r i m e n t o d t × l a r g u r a + c o m p r i m e n t o × d l a r g u r a d t

Passo 2

Substituindo os valores conhecidos:

d A d t = 8 c m s × 10   c m + 20   c m × 3 c m s

Calculando:

d A d t = 80 c m 2 s + 60 c m 2 s = 140 c m 2 s

Portanto, a área do ret��ngulo está aumentando a uma taxa de 140   c m 2 / s quando o comprimento é 20 cm e a largura é 10 cm.

Resposta

140   c m 2 / s

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