Uma tela de cinema de 8 m de altura está fixado numa parede, com sua base 4 m acima de seus olhos conforme a figura abaixo.

Se x é a distância a que você deve ficar da parede para que seu ângulo de visão θ da tela seja máximo, então x   t g θ vale:

Passo 1

Para resolvermos essa questão, devemos lembrar do conceito de derivada implícita e ponto máximo de uma função crescente.

Observando a imagem vemos que temos um ângulo α , relativo á altura de seus olhos até a base da tela, θ relativo à altura de seus olhos ao quadro, e podemos chamar de γ a soma desses dois ângulos.

γ = θ + α

Buscamos a distância x entre o observador e a parede tal que o ângulo seja ( θ ) seja máximo.

Passo 2

Observe que podemos ultilizar a fórmula de soma de arcos para expressarmos a relação entre a distancia x e as alturas.

γ = θ + α

t g γ = t g θ + α

t g γ = t g θ + t g α 1 - t g θ t g α

Observe que o triângulo formado pela visão do observador e as alturas é um triângulo retângulo, logo vale dizer que

t g α = 4 x

t g γ = 4 + 8 x

Passo 3

Somando os valores e substituindo teremos

12 x = t g θ + 4 x 1 - 4 t g θ x

12 x = 4 + x t g ( θ ) x - 4 t g θ

12 x - 48 t g θ = 4 x + x 2 t g θ

Isolando a t g θ

8 x = t g θ x 2 + 48

t g θ = 8 x x 2 + 48

Passo 4

Próximo passo é calcularmos a derivada, afinal estamos trabalhando com otimozação,c erto...

sec 2 ⁡ θ   d θ = 8 × x 2 + 48 - 2 x × 8 x x 2 + 48 2

sec 2 ⁡ θ   d θ = 8 x 2 + 384 - 16 x 2 x 2 + 48 2

sec 2 ⁡ θ   d θ = 384 - 8 x 2 x 2 + 48 2

Devemos fazê-lo de forma que seu d θ seja nulo, afinal a função cresce até seu ponto de máximo! (derivada igual a zero). Assim

0 = 384 - 8 x 2

x 2 = 384 8 = 48

x = 4 3   m

Passo 5

Bom, mas a questão não para ainda por aí. Temos o valor de x , mas queremos x   t g θ , certo?

Lembra que γ = α + θ

t g α = c . o c . a = 4 4 3 = 1 3 = 3 3

Sabemos então que α vale 30 °

Temos ainda que

t g γ = 4 + 8 4 3 = 12 4 3 = 3 3 = 3

Sabemos então que γ vale 60 ° . Então:

γ = α + θ → 60 = 30 + θ → θ = 30 °

Passo 6

Bom, mas a relação que queremos é x   t g θ , logo

4 3 × t g 30 ° = 4 3 × 3 3 = 4

Resposta

4

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