A partícula A se move ao longo do semieixo positivo O x e a partícula B move-se ao longo do gráfico da função f   ( x )   =   - 3 x ,   x   ≤   0 . Num certo instante, a partícula A está no ponto (5, 0) e afasta-se da origem com velocidade 3 unidades por segundo e a distância de B até a origem e 3   unidades, afastando-se da origem com velocidade 4 unidades por segundo. Qual a taxa de variação da distância entre A e B nesse instante?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa é uma questão de taxas relacionadas, vamos ver o que o problema nos diz! Ela nos diz que temos dois pontos A e B. A partícula A está no ponto ( 5,0 ) no eixo X e se afasta da origem. O ponto B está em cima da parte negativa da reta y = - 3 x .

Ele diz qual é a distância das partículas até a origem e dá as velocidades de afastamento. E nos pede qual a taxa com que a distância entre eles está aumentando.

E agora, como relacionar?

Mas espera aí! Vamos colocar isso tudo em um gráfico!

em verde temos a reta, ali temos a distância B . Já o A está no eixo e está representado em azul. Por trigonometria temos o ângulo entre os lados A e B e a distância entre esses pontos é dada pela lei dos cossenos! Agora é só derivar tudo em relação ao tempo e substituir os valores!

Tranquilo? Relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Bora lá!

Passo 2

Derivando a fórmula da distância entre as partículas

d 2 = A 2 + B 2 - 2 A B c o s   120

Lembrando que cos ⁡ 120 é constante!

2 d d d d t = 2 A d A d t + 2 B d B d t - 2 B c o s   120 d A d t - 2 A c o s   120 d B d t

Agora vamos os dados:

Quando A = 5 e B = 3

d 2 = 25 + 9 - 2.3 . 5 cos ⁡ 120 → d = 7

As velocidades

d A d t = 3  

d B d t = 4

d d d t = q u e r e m o s

Assim

14 d d d t = 2.3 . 4 + 2.3 . 5 - 2.3 . - 1 2 . 3 - 2.5 . - 1 2 . 4

d d d t = 24 + 30 + 9 + 20 14 = 83 14

E é isso! Até a próxima!

Resposta

83 14

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