Constrói-se uma janela normanda colocando-se um semicírculo em cima de uma janela retangular. Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu perímetro é de 5   m .

Passo 1

Observe a figura abaixo, que representa a situação descrita no enunciado.

Para achar a área máxima total, vamos dividir a figura em duas áreas diferentes e depois soma-las. A primeira é a área do retângulo, dada por

A r e t a n g u l o = x y

A outra é a área do semicírculo, dada por

A s e m i c i r c u l o = π r 2 2

Observe, pela figura, que

r = x 2

Logo,

A s e m i c i r c u l o = π x 2 2 2 = π x 2 8

Portanto, a área total, que deve ser otimizada é

A t o t a l   = A r e t a n g u l o + A s e m i c i r c u l o

A t o t a l   = x y + π x 2 8

Passo 2

Precisamos de uma relação entre as variáveis. Nesse caso, é fácil obter essa relação, visto que o enunciado diz que o perímetro vale 5   m . Então

2 y + x + 2 π r 2 = 5

2 y + x + π r = 5

Substituindo o r por x 2 :

2 y + x + π x 2 = 5

Agora podemos isolar uma das variáveis. Escolhi isolar y .

2 y = 5 - x - π x 2

2 y = 10 - 2 x - π x 2

y = 10 - 2 x - π x 4

y = 10 - x ( 2 + π ) 4

Passo 3

Já podemos substituir y na equação da área total.

A t o t a l   = x y + π x 2 8 =

x 10 - x 2 + π 4 + π x 2 8 =

10 x - x 2 2 + π 4 + π x 2 8 =

20 x - 2 x 2 2 + π + π x 2 8 =

20 x - 4 x 2 - π x 2 8 =

A t o t a l   = 5 x 2 - x 2 2 - π x 2 8

Passo 4

E finalmente vamos derivar A t o t a l   para encontrar seu ponto de máximo.

A ' t o t a l   = 5 2 - x - π x 4

A ' t o t a l   = 10 - 4 x - π x 4

A ' t o t a l   = 10 - x ( 4 + π ) 4

Passo 5

Tendo a derivada, podemos encontrar os pontos críticos, igualando-a a zero.

A ' t o t a l   = 0

10 - x ( 4 + π ) 4 = 0

10 - x ( 4 + π ) = 0

x ( 4 + π ) = 10

x = 10 4 + π

Agora temos que descobrir se o ponto encontrado é uma máximo da função. Analisando o sinal da derivada perto de x = 10 4 + π   temos que

  • Antes de   x = 10 4 + π :   A ' t o t a l   > 0
  • Depois de   x = 10 4 + π :   A ' t o t a l   < 0

Logo, x = 10 4 + π é um ponto de máximo local.

Passo 6

Também precisamos do valor de y quando x = 10 4 + π . Sabemos que

y = 10 - x ( 2 + π ) 4

e substituindo o x encontramos

y = 20 4 + π 4

y = 20 4 ( 4 + π )

y = 5 4 + π

Resposta

x = 10 4 + π   m

y = 5 4 + π   m

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t