Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.

Passo 1

Galerinha iremos utilizar o método de otimização. Vamos encontrar a área do maior retângulo inscrito em um semicírculo de raio r sem usar fórmulas específicas.

Suponha que o semicírculo esteja na parte superior do plano cartesiano, com o centro do semicírculo no ponto 0,0 .

Agora, considere um retângulo inscrito nesse semicírculo, com um dos lados na base do semicírculo e o vértice oposto no topo do semicírculo.

Se a base do retângulo tiver comprimento 2 x , a altura do retângulo será y   e o ponto superior direito do retângulo será x , y .

Nesse caso, a parte inferior direita do retângulo estará no ponto ( - x , 0 )

A área do retângulo é dada por A = 2 x y

A equação do semicírculo é x 2 + y 2 = r 2 , já que cada ponto no semicírculo está a uma distância r do centro 0,0 .

Passo 2

Agora, podemos resolver esse problema de otimização maximizando a área \(A\) sujeita à equação do semicírculo:

A = 2 x y

x 2 + y 2 = r 2

Para fazer isso, podemos isolar y na segunda equação:

y 2 = r 2 - x 2

y   =   r 2 - x 2

Agora, substituímos essa expressão para y na primeira equação da área:

A = 2 x r 2 - x 2

Agora, para encontrar o valor máximo de A ,   podemos derivar A   em relação a x e igualar a derivada a zero:

d A d x = 2 r 2 - x 2 - 2 x 2 r 2 - x 2  

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por r 2 - x 2 , obtemos:

2 r 2 - x 2 - 2 x 2 = 0

Agora, resolvendo para x

2 r 2 -   4 x 2 -   2 x 2 =   0

4 x 2 =   2 r 2

x 2 = r 2 2

x = r 2  

Agora que encontramos o valor de x , podemos encontrar y   usando a equação x 2 + y 2 = r 2

r 2   2 + y 2 = r 2

r 2 2 + y 2 = r 2

y 2 = r 2 - r 2 2

y 2 = r 2 2

y = r 2

Agora, temos os valores de x   e   y que maximizam a área A   :

x = r 2   e   y = r 2

A área máxima do retângulo é:

A = 2 x y = 2 r 2 r 2 = 2 r 2 2 = r 2

Portanto, a área máxima do retângulo inscrito em um semicírculo de raio r   e   r 2 .

Resposta

Portanto, a área máxima do retângulo inscrito em um semicírculo de raio r   e   r 2 .

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