19. Encontre o ponto sobre a reta y = 2 x + 3 que está mais próximo da origem.

Passo 1

Para fazemos isso, basta pegarmos um ponto da reta e minimizar sua distância até a origem.

y = 2 x + 3

Então o ponto será o seguinte:

P = x , 2 x + 3

Calculando sua distância até a origem:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Isto é,

d = x - 0 2 + ( 2 x + 3 ) - 0 2

Passo 2

Arrumando as coisas, temos:

d ( x ) = x 2 + 4 x 2 + 12 x + 9

Assim,

d ( x ) = 5 x 2 + 12 x + 9

Para minimizar, vamos derivar!

d ' x = 1 2 ⋅ 1 5 x 2 + 12 x + 9 ⋅ ( 10 x + 12 )

Igualando a zero para achar os pontos de inflexão:

d ' x = 0

Logo,

10 x + 12 2 ⋅ 5 x 2 + 12 x + 9 = 0

Portanto,

10 x + 12 = 0 → x = - 6 5

Repare que a função dentro da nossa raiz é uma parábola com concavidade para baixo. Logo, x = - 6 / 5 será um ponto de mínimo.

Passo 3

Agora é só acharmos o ponto.

P = x , 2 x + 3

x = - 6 / 5 :

P = - 6 5 , 3 5

Resposta

P = - 6 5 , 3 5

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