Um cartaz deve conter 50 c m ² de matéria impressa com duas margens de 4 cm cada, na parte superior e na parte inferior e duas margens laterais de 2 cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz de modo que sua área total seja mínima.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para determinar as dimensões externas de um cartaz de modo que a sua área seja mínima. Vamos chamar as laterais da parte impressa do cartaz de a b, tal que temos a condição

a × b = 50   c m 2

Agora, vamos chamar as dimensões externas do cartaz de x e de y.

Sabemos que, o tamanho da dimensão y tem de ser b mais as duas margens verticais de 4 cm, y = b + 8 . Semelhantemente, para x, com as duas margens horizontais de 2 cm, temos x = a + 4

Então, a área total do cartaz é x y = ( a + 4 ) ( b + 8 ) = a b + 8 a + 4 b + 32 = 8 a + 4 b + 82 .

Logo, temos que a área total A do cartaz é uma função de duas variáveis A = A(a,b). Mas, a gente sabe que a e b estão relacionados pelo vínculo da área impressa de 50 cm². Então, podemos substituir uma das variáveis, fazendo

a b = 50   ⇒ a = 50 b

Desse modo, temos que a área total é A = A ( b ) = 8 × 50 b + 4 b + 82 = 400 b + 4 b + 82 . Agora que temos a área total em função de um único parâmetro, podemos descobrir qual valor desse parâmetro minimiza a função igualando sua derivada a zero! Então vamos lá derivar a função!

Passo 2

Como a derivada de uma soma de funções é simplesmente a soma das derivadas, temos que a derivada da área é

A ' ( b ) = d d b A ( b ) = - 400 b 2 + 4

Igualando isso a zero, obtemos que b deve ser:

- 400 b 2 + 4   = 0   ⇒ b 2 = 100   ⇒   b = 10

Então, para que a área total do cartaz seja a menor possível, b deve ser igual à 10 cm e , consequentemente, a deve ser igual à 5 cm para que a área impressa seja igual à 50 cm². Como as dimensões externas são y = b + 8 e x = a + 4 , chegamos aos valores de x = 9cm e y = 18cm .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

9 cm e 18 cm

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