10. Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro 1.000   c m 3 de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar a quantidade de material usado na confecção da lata?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos um cilindro cujo volume é fixo em 1.000   c m 3 e queremos obter as dimensões de altura h e raio r de modo que a área superficial do cilindro seja a menor possível.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Podemos obter a função do volume do cilindro como

V = π r 2 h

Além disso a função área superficial como

A = 2 A b + A l

Onde A b é a área da base e do topo do cilindro e A l é a área lateral

A = 2 π r 2 + 2 π r h

A = 2 π r 2 + r h

Assim, como temos o volume, temos que substituir V em A e encontrar os pontos críticos da função gerada.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

No caso, V = 1000 c m 3 , logo

V = 1000 = π r 2 h

Isolando uma dessas variáveis, temos

1000 = π r 2 h → h = 1000 π r 2

Substituindo em A ...

A = 2 π r 2 + r h = 2 π r 2 + r 1000 π r 2

A = 2 π r 2 + 1000 π r

Para encontrar o menor valor possível para r temos que derivar A e igualar a 0

A ' = 2 π d r 2 + 1000 π r d r = 2 π 2 r - 1000 π r 2

A ' = 4 π r - 500 π r 2 = 0

r - 500 π r 2 = 0 → r 3 = 500 π

r = 500 p i 3 ≅ 5 , 4 2 c m

Com r obtido, podemos obter h a partir da relação

h = 1000 π r 2 = 1000 π 5,42 2

h ≅ 10,83 c m

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

r ≅ 5,42 c m

h ≅ 10,83 c m

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