Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir,

v ( t ) = s e n ( t ) - c o s ( t ) ,         s ( 0 ) = 0 ,

onde v ( t ) indica a velocidade e s ( t ) indica a posição. A posição da partícula no tempo t = π é (escolha):

a )   2 b )   1 c )   0 d )   2 π

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Temos uma partícula que se move com a velocidade dada por

v ( t ) = s e n ( t ) - c o s ( t ) ,

e, inicialmente ela está na posição   s ( 0 ) = 0 . Precisamos encontrar a posição dela no tempo t = π . Como fazer isso? Precisamos achar quem é s ( t ) ! Isso é bastante direto, basta lembrarmos que

v ( t ) = d d t [ s ( t ) ]

e se integrarmos a nossa expressão da velocidade em limites adequados, teremos a expressão desejada! Bora lá!

Passo 2

Usando a definição da velocidade como derivada da posição podemos escrever que

d s ( t ) = v ( t ) d t

como tem t = 0 , temos que a partícula está em s = 0 , podemos integrar ambos os lados da seguinte maneira

∫ 0 s ( t ) d s ( t ) = ∫ 0 t v ( t ) d t

O lado esquerdo é simplesmente

∫ 0 s ( t ) d s ( t ) = s ( t ) | 0 s ( t ) = s ( t )

E, portanto, podemos obter a nossa posição resolvendo a seguinte integral

s ( t ) = ∫ 0 t v ( t ) d t

Vamos fazer isso!

Passo 3

Utilizando a definição da velocidade temos que

s ( t ) = ∫ 0 t [ s e n ( t ) - c o s ( t ) ] d t = ∫ 0 t s e n ( t ) d t - ∫ 0 t c o s ( t ) d t

Temos que ambas as integrais são conhecidas como

∫ 0 t s e n ( t ) d t = - c o s ( t ) 0 t = - [ c o s ( t ) - c o s ( 0 ) ]

ou como c o s ( 0 ) = 1 , temos que

∫ 0 t s e n ( t ) d t = 1 - c o s ( t )

Agora! Para a segunda integral, temos que

∫ 0 t c o s ( t ) d t = s e n ( t ) 0 t = s e n ( t ) - s e n ( 0 )

Como s e n ( 0 ) = 0 , temos que

∫ 0 t c o s ( t ) d t =   s e n ( t )

E, portanto, a expressão para a posição é dada por

s ( t ) = 1 - c o s ( t ) - s e n ( t )

Vamos avaliar isso no valor desejado! E a questão já era!

Passo 4

Usando que t = π obtemos

s ( π ) = 1 - c o s ( π ) - s e n ( π )

temos que s e n ( π ) = 0 e c o s ( π ) = - 1 , portanto, obtemos

s ( π ) = 1 - ( - 1 ) = 2

Portanto, a alternativa correta é a letra a )   2 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a )   2

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