1. Um peso deve ficar suspenso a 4m de uma superfície horizontal por meio de uma armação de arame em forma de Y, como na figura abaixo (os pontos A, B e P são os vértices de um triângulo isósceles). Se os pontos de sustentação A e B distam 2 3 m, determine o comprimento mínimo de arame necessário.

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos tratar de um problema de otimização.

Mas o que é otimizar?

Bom, otimizar significa chegar ao ótimo, à melhor situação possível. Em Cálculo 1 isso implica dizer que vamos ter uma situação que pode ser descrita por uma função f ( x ) , e vamos procurar um x o , de tal forma que

f ' x o = 0

Esse ponto x o representa o cenário ideal que buscamos alcançar.

Ah, e mais uma coisa antes de passarmos pra questão em si, otimizar pode tanto significar obter o máximo quanto o mínimo de uma situação. Agora vamos pra nossa questão.

Passo 2

Vamos agora observar a seguinte imagem

A partir dela nós podemos escrever uma expressão para a nossa quantidade de arame (lembrando que A P - = B P - )

Q a = L + L + x

Essa ainda não é uma expressão boa para nós, pois ela tem duas variáveis, L e x.

Passo 3

Vamos agora tentar deixar em função de uma variável só, no caso vamos escolher deixar em função de x.

Se observarmos bem, dentro do triângulo isósceles formado por A, B e P, podemos achar o seguinte triângulo.

Como o ∆ A B P é isósceles, o lado a tem metade da distância de A para B, logo a = 3   m . E,

L 2 = 4 - x 2 + 3 2 = 16 - 8 x + x 2 + 3 = x 2 - 8 x + 19

Substituindo esse valor na expressão de Q a temos,

Q a x = 2 x 2 - 8 x + 19 + x

Passo 4

Agora, vamos derivar nossa função. Assim,

Q a ' x = 2 ∙ 1 2 x 2 - 8 x + 19 ∙ 2 x - 8 + 1 = 2 x - 8 x 2 - 8 x + 19 + 1

Agora, igualamos nossa derivada a zero e

2 x - 8 x 2 - 8 x + 19 + 1 = 0

⇒ 2 x - 8 x 2 - 8 x + 19 = - 1

⇒ 2 x - 8 = - x 2 - 8 x + 19

⇒ 2 x - 8 2 = - x 2 - 8 x + 19 2

⇒ 4 x 2 - 32 x + 64 = x 2 - 8 x + 19 ⇒ 3 x 2 - 24 x + 45 = 0 ⇒ x o 1 = 3 x o 2 = 5

E, se escolhermos o menor valor para x, que é x o 1 , temos

Q a x o 1 = 2 9 - 24 + 19 + 3 = 7

Logo, a menor quantidade de arame que pode ser usada é 7 metros..

Ufaa, que questão trabalhosa, mas enfim, terminamos 😅😅. Até a próximaa!!

Resposta

Q a = 7   m e t r o s

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