Você planeja fechar um canto do primeiro quadrante com um segmento de reta de 20 unidade de comprimento, que vai de (a, 0) a (0, b). Mostre que a área do triângulo determinada pelo segmento é máxima quando a = b.

Passo 1

Falaii galerinha, bora láa

A área vai ser

A = a b 2

Além disso, usando Pitágoras, vamos ter:

a 2 + b 2 = 20 2

Isolando o a

a 2 = 400 - b 2

a = ± 400 - b 2

Como a está no primeito quadrante, vamos pegar a parte positiva

a = 400 - b 2

E a área vai ficar:

A = b 400 - b 2 2

Onde o valor máximo que b pode assumir é 20 , quando a barra estiver toda na vertical e o mínimo é 0 , quando a barra estiver toda na horizontal.

0 ≤ b ≤ 20

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Começando por achar os pontos críticos:

A ' = 0

Vamos derivar usando a regra do produto:

A ' = b 2 ' 400 - b 2 + b 2 400 - b 2 '

A ' = 400 - b 2 2 + b 2 400 - b 2 '

Colocando a raiz como potência:

A ' = 400 - b 2 2 + b 2 400 - b 2 1 2 '

Passo 3

Não podemos esquecer a regra da cadeia durante a derivação:

A ' = 400 - b 2 2 + b 2 1 2 400 - b 2 - 1 2 - 2 b

A ' = 400 - b 2 2 - b 2 2 400 - b 2

Fazendo isso igual a 0

400 - b 2 2 - b 2 2 400 - b 2 = 0

400 - b 2 2 = b 2 2 400 - b 2

Passo 4

Multiplicando cruzado:

2 400 - b 2 = 2 b 2

800 - 2 b 2 = 2 b 2

4 b 2 = 800

b 2 = 200

b = ± 200

b = ± 10 2

Pelo intervalo, temos:

b = 10 2

Passo 5

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

A = b 400 - b 2 2

b = 0 → A = 0 400 - 0 2 2 = 0

b = 10 2 → A = 10 2 400 - 10 2 2 2

= 5 2 400 - 200 = 5 2 200

= 5 2 . 10 2 = 100

b = 20 → A = 20 400 - 20 2 2

= 10 400 - 400

= 10 ⋅ 0 = 0

Passo 6

O maior dos 3 valores é quando b = 10 2

Entao o retângulo tem dimensões:

b = 10 2

a = 400 - 10 2 2

= 400 - 200

= 200

= 10 2

Logo a = b

Resposta

Logo a = b

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