Enche-se de água um reservatório a uma taxa de 0,1   m 3 / s e g . O reservatório tem a forma de um

cone circular reto com vértice virado para baixo. O raio da base do cone é de 10   m e sua altura

é de 15   m . Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h   =   5   m ?

Passo 1

Vamos resolver o problema usando a derivada implícita da fórmula do volume do cone em relação ao tempo. A fórmula do volume de um cone é V = 1 3 π r 2 h , onde r   é o raio da base e h é a altura.

Diferenciando ambos os lados da equação em relação ao tempo t :

d V d t = 1 3 π 2 r h d r d t + r 2 d h d t

Dado que a taxa de enchimento d V / d t é igual a 0,1 m 3 / s e g o raio r = 10 m ,   e a altura h   =   5   m , queremos encontrar d h / d t     quando h = 5 m

Substituindo os valores conhecidos e a taxa de enchimento na equação:

0,1 = 1 3 π 2 ⋅ 10 ⋅ 5 d r d t + 10 2 d h d t

Passo 2

Simplificando:

0,1 = 100 π d r d t + 100 π d h d t

Isolando d h / d t

0,1 - 100 π d r d t = 100 π d h d t

d h d t = 0,1 - 100 π d r d t 100 π

Agora, dado que

d r d t = 0,1 π ⋅ 10 = 0,01 10

substituímos esse valor:

d h d t = 0,1 - 100 π ⋅ 0,01 10 100 π

Passo 3

Calculando:

d h d t = 0,1 - 1 10 100 π

d h d t = 9 1000 π

Portanto, a velocidade com que o nível h da água está subindo no instante em que h = 5 m é de 9 / 1000 π metros por segundo, o que coincide com a resposta fornecida.

Resposta

9 1000 π

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