Considere a função f   :   R →   R definida por f x = 2 ln ⁡ x 2 + 1 . Considere a função g : R → R tal que g x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x , f x . Determine o valor máximo e o valor mínimo da função g x .

Passo 1

Vamos analisar o seguinte: A inclinação da reta tangente a determinado gráfico em determinado ponto é dado pela sua respectiva derivada no mesmo ponto. Ou seja, segundo a definição que o cara deu para g x nós teríamos que essa função é a derivada de f :

f ' x = g x

Ou seja, g x será, pela Regra da Cadeia, o seguinte:

g x = 2 ln ⁡ x 2 + 1 ' = 2 x 2 + 1 ' x 2 + 1

= 2 2 x x 2 + 1 = 4 x x 2 + 1

Passo 2

A questão pedia que achássemos o máximo e o mínimo de g x . Para tanto temos que otimizá-la, derivando e igualando a 0 . Derivamos pela Regra do Quociente:

g ' x = 4 x ' x 2 + 1 - 4 x x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

= 4 x 2 + 1 - 4 x 2 x x 2 + 1 2 = 4 x 2 + 4 - 8 x 2 x 2 + 1 2

= 4 - 4 x 2 x 2 + 1 2

= 4 1 - x 2 x 2 + 1 2

Como o denominador está elevado a um expoente par nós vemos que esse termo será sempre positivo. Assim, o sinal de g ' x depende unicamente de 1 - x 2 = 1 + x 1 - x . Sabendo que existem duas raízes para o termo, que é uma parábola com concavidade para baixo, sabemos que a derivada é positiva entre as raízes e negativa no resto do domínio.

Passo 3

Enfim, em dois pontos temos g ' x = 0 , x = 1 e x = - 1 . Sendo g ' x positiva em ] - 1,1 [ e negativa para x < - 1 e x > 1 .

Assim, como a derivada é negativa antes de x = - 1 e positiva depois, esse é um ponto de mínimo. Como antes de x = 1 a derivada é positiva e depois é negativa, esse é um ponto de máximo.

O máximo de g é em x = 1 : g 1 = 4 ( 1 ) 1 2 + 1 = 4 2 = 2 .

O mínimo de g é em x = - 1 : g - 1 = 4 ( - 1 ) - 1 2 + 1 = - 4 2 = - 2 .

Resposta

M á x i m o : g 1 = 2   ; M í n i m o : g - 1 = - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t