7. Um hortigranjeiro quer construir um galinheiro retangular de área máxima. Em sua propriedade dispõe de cento e vinte metros de tela. Como construir de modo otimizado?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que dimensionar uma área retangular cujo perímetro máximo é de 120 m . Nosso objetivo é definir os parâmetros do lado e altura do retângulo de modo que a área do retângulo seja a maior possível.

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

A área do retângulo é dada pela equação

A = l · h

Onde l é a largura e h a altura.

Já o perímetro do retângulo é dado por

P = 2 l + 2 h

A partir daí o que temos que substituir a função perímetro na função área e obter o ponto máximo da função resultante.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Queremos descobrir os valores de l e h e pra isso temos apenas o valor de P , ou seja

P = 120 = 2 l + 2 h

Podemos isolar uma das variáveis em 120 = 2 l + 2 h e substituir em A ...

2 l + 2 h = 120 → h = 120 - 2 l 2

h = 60 - l

Substituindo h em A , temos

A = l · h → A = l · 60 - l

A = 60 l - l 2

Agora temos que obter os pontos críticos de A derivando a função e igualando a 0

A ' = d 60 l - - l 2 d l = 60 - 2 l

Igualando a 0 , temos

60 - 2 l = 0 → l = 30

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Como vimos anteriormente, o melhor valor possível para l de modo que a área do retângulo seja a maior possível é l = 30 m .

A partir da equação do perímetro podemos obter o valor de h

2 l + 2 h = 120 → h = 60 - l

h = 30 m

Assim, podemos calcular a área A como

A = l · h = 30 · 30

A = 900 m 2

Portanto a maior área possível para o retângulo é 900 m 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A = 900 m 2

l = h = 30 m

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