Uma lata cilíndrica sem topo é feita para receber V 0   c m 3 de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal usado para fazer a lata.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... Para encontrar as dimensões que minimizarão o custo do metal usado para fazer a lata cilíndrica, precisamos otimizar a área de superfície da lata.

Vamos supor que o raio da base do cilindro seja r e a altura seja h :

A área de superfície da lata cilíndrica é composta por duas partes: a área da base circular A c e a área lateral A l :

A c = π r 2

A l = 2 π r h

Assim a área total da lata é dada por:

A T = A c + A l ∴

A T = π r 2 + 2 π r h

Para minimizarmos o custo do metal que será utilizado, temos que derivar a área total em função do raio e igualar a zero.

Mas antes, precisamos encontrar essa expressão!

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Bom... sabemos que o volume da lata V 0 é dado por:

V 0 = π r 2 h

Isolando uma das variáveis, temos:

h = V 0 π r 2

Substituindo h na fórmula da área total, temos:

A T = π r 2 + 2 π r V 0 π r 2 ∴

A T = π r 2 + 2 V 0 r

Passo 3

Agora, para minimizar A T , devemos derivar a expressão e igualar a zero:

A T ' r = 2 π r - 2 V 0 r 2 = 0 ∴

2 π r = 2 V 0 r 2 ∴

r = V 0 π 3

Substituindo r em h :

h = V 0 π V 0 π 3 2 ∴

h = V 0 π V 0 �� 2 3

h = V 0 π 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r = h = V 0 π 3   c m

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