Uma lata cilíndrica deve ser produzida com volume igual a 375 c m 3 . O custo do material da tampa e da base da lata é de 3 10 centavos por c m 2 , enquanto o custo do material da parte lateral é de 2 10 centavos por c m 2 . Quais devem ser as dimensões da lata de forma a minimizar os custos?

Passo 1

Nós queremos otimizar essa produção aí, certo? Pensou em otimização ou taxa relacionada, pensou em derivada. Quando você está la no começo da disciplina estudando esboço de gráfico, a gente viu que a primeira derivada igual a zero nos da os máximos e mínimos, certo?

É justamente isso que a gente procura aqui, no caso, o mínimo de custos, ou seja, o mínimo de material a ser usado.

Bom, a área da lata nos é dado por:

A = 2 π r h + 2 π r 2

Onde 2 π r h   é a área das aterais da lara, com r   sendo o raio da tampa e h a altura da lata. A área da tampa é π r 2 e do fundo também π r 2 , somando então 2 π r 2 .

Bom, para calcular o custo da lata então, Vamos multiplicar pelos custos nos dado no encuniado, ficamos entçao com:

C = 2 π r h 2 10 + 2 π r 2 3 10  

C = π r 2 h + 3 r 5

Passo 2

O enunciado nos pede para o volume ser igual a 375   c m 3

A fórmula do volume é área da base vezes a altura, logo:

V = π r 2 h = 375

Isolando o h, temos:

h = 375 π r 2

Podemos então substituir esse valor de h na nossa função do custo:

C = π r 2 h + 3 r 5

C = π r 2 375 π r 2 + 3 r 5

C = 750 + 3 π r 3 5 r

Passo 3

Derivando pela regra do quociente teremos:

C ' = 750 + 3 π r 3 ' 5 r - ( 5 r ) ' ( 750 + 3 π r 3 ) 5 r 2

C ' = 9 π r 2 × 5 r - 5 × 750 + 3 π r 3 25 r 2 = 0

45 π r 3 - 3750 - 15 π r 3 = 0

30 π r 3 - 3750 = 0

r 3 = 3750 30 π

r 3 = 125 π

r = 125 π 3

r = 5 π 3

Passo 4

Para descobrirmos a altura então, simples,emte substituímos esse valor de r que encontramos na formulinha que determinamos pra altura.

h = 375 π r 2

h = 375 π 5 π 3 2

h = 15 π 3

Resposta

r = 5 π 3

h = 15 π 3

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