Um galpão deve ser construído com uma área retangular de 8100   m 2 . E necessário que haja um recuo de 25 m na frente, 15 m na parte traseira e 5 m em cada lado. Encontre as dimensões do lote de área mínima na qual tal galpão pode ser construído. Faça um esboço da situação.

Passo 1

Oieee,

Vamos resolver o problema por definição, considerando as restrições dadas. Primeiro, vamos criar um esboço da situação para visualizar melhor o problema:

A área total do lote é de 8100 m², e as dimensões do galpão são x metros de largura e y metros de comprimento. Portanto, a área do lote é dada por:

Á r e a   d o   l o t e   =   ( l a r g u r a   d o   l o t e )   *   ( c o m p r i m e n t o   d o   l o t e )

Á r e a   d o   l o t e   =   ( x   +   30 )   *   ( y   +   20 )

Agora, você deseja encontrar as dimensões do lote (x e y) que minimizam essa área. No entanto, existem duas restrições importantes:

1. Recuo na frente: 25 metros

2. Recuo na parte traseira: 15 metros

3. Recuo nos lados: 5 metros de cada lado

Passo 2

Essas restrições implicam que a largura efetiva do lote é ( x   –   25   –   15 )   =   ( x   –   40 )   metros, e o comprimento efetivo do lote é ( y   –   5   –   5 )   =   ( y   –   10 )   metros.

Portanto, você tem as seguintes restrições:

1. x   –   40   ≥   0 (largura efetiva não pode ser negativa)

2. y   –   10   ≥   0 (comprimento efetivo não pode ser negativo)

A área do lote efetiva, sujeita a essas restrições, é:

Á r e a   e f e t i v a   d o   l o t e   =   ( l a r g u r a   e f e t i v a )   *   ( c o m p r i m e n t o   e f e t i v o )

Á r e a   e f e t i v a   d o   l o t e   =   ( x   -   40 )   *   ( y   -   10 )

Agora, você deseja minimizar a área efetiva do lote sujeita às restrições. Vamos abordar isso usando um método gráfico. Primeiro, vamos traçar as restrições no plano cartesiano:

1. x   -   40   ≥   0 (lado esquerdo do lote)

2. y   -   10   ≥   0   (parte traseira do lote)

3. Á r e a   e f e t i v a   d o   l o t e   =   ( x   -   40 )   *   ( y   -   10 )   =   8100

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de inequações e encontrar o ponto onde a área é minimizada:

Primeiro, a restrição   x   -   40   ≥   0 implica que x   ≥   40 .

Segundo a restrição y   -   10   ≥   0 implica que y   ≥   10 .

Agora, podemos encontrar o ponto onde a área é minimizada:

Á r e a   e f e t i v a   d o   l o t e   =   8100

( x   -   40 )   *   ( y   -   10 )   =   8100

Agora, resolvendo essa equação:

( x   -   40 )   *   ( y   -   10 )   =   8100

Expandindo:

x y   -   10 x   -   40 y   +   400   =   8100

Reorganizando:

x y   -   40 y   =   10 x   +   7700

y ( x   -   40 )   =   10 x   +   7700

y   = 10 x   +   7700 x   -   40

Passo 4

Agora, vamos traçar essa equação juntamente com as restrições no plano cartesiano:

- A linha azul representa a restrição x   -   40   ≥   0 (lado esquerdo do lote).

- A linha vermelha representa a restrição y   -   10   ≥   0 (parte traseira do lote).

- A curva verde representa a equação y   =   ( 10 x   +   7700 ) / ( x   -   40 ) .

Vamos encontrar o ponto de interseção entre as três curvas, que representará as dimensões do lote que minimizam a área:

Aqui está o esboço da situação:

```

^

y |-----------------------

| \ /

| \ /

| \ /

| \ /

|-------\/-----------

|

|-----------------------

|

+------------------------>

x

Resposta

Vide a explicação.

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