Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semi-cı́rculo de raio r.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para determinar a área do maior retângulo que pode ser inscrito em meio círculo. Vamos dar uma olhada na situação:

Bem, da imagem a gente vê que a área do retângulo vermelho é dada pela base vezes a altura: A ( x , y ) = 2 x y . Então, vemos que a área do retângulo é uma função de duas variáveis. No entanto, as medidas de x e y estão relacionadas através de um triângulo retângulo:

x 2 +   y 2 = R 2   ⇒   y   =   R 2 - x 2

Então, podemos escrever a função da área como

A ( x )   =   2 x R 2 - x 2

Agora, para encontrar qual valor de x maximiza essa função, tudo que precisamos fazer é derivá-la e igualar isso à zero, porque a gente sabe que, nos pontos de extremo de uma função, a sua derivada é nula. Então vamos lá derivar!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Passo 2

A função A(x) consiste de um produto de duas funções: f ( x ) = 2 x e g ( x )   = R 2 - x 2 . Então, vamos utilizar a regra do produto para derivar. Sabendo que a derivada de f(x) é f ' ( x ) = 2 e que a derivada de g(x) é g ' ( x ) = - x R 2 - x 2 - 1 2 , vamos usar que a derivada de um produto de funções f(x)g(x) é f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) para obter a derivada de A(x). Assim, temos

A ' ( x )   =   2 R 2 - x 2 - 2 x 2 R 2 - x 2 - 1 2

Para que a área seja máxima, essa expressão deve ser igual a zero. Então:

2 R 2 - x 2 - 2 x 2 R 2 - x 2 - 1 2 = 0

2 R 2 - x 2 = 2 x 2 R 2 - x 2 - 1 2

R 2 - x 2   = x 2

x 2 = R 2 2   ⇒   x   =   R 2

Então, o valor de x que maximiza a área do retângulo inscrito é R 2 . Agora, para descobrir a área máxima, só precisamos substituir o valor de x obtido na expressão para A(x). Vamos lá!

Passo 3

Como a área do retângulo é dada por A ( x )   =   2 x R 2 - x 2 , substituindo x = R 2 , obtemos a área máxima de

A m á x ( x )   = 2 R 2 R 2 - R 2 2 = R 2  

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A m á x ( x )   = R 2  

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